x3根号下r2-x2的原函数

这个函数可以通过代换和分部积分来求解。首先，我们可以令$x=\sqrt{r^2}\sin\theta=r\sin\theta$，那么$dx=r\cos\theta d\theta$。于是原函数可以表示为：

$$\int x^3\sqrt{r^2-x^2}dx=\int r^4\sin^3\theta\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cdot r\cos\theta d\theta$$

化简一下可得：

$$\int r^5\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta$$

然后我们再进行一次代换，令$u=\sin\theta$，那么$du=\cos\theta d\theta$，于是原函数可以表示为：

$$\int r^5\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta=\int r^5u^3du=\frac{r^5}{4}\sin^4\theta+C$$

最后，将$\theta$用$x$表示回去，即可得到最终答案：

$$\int x^3\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{r^5}{4}\sin^4(\arcsin\frac{x}{r})+C=\frac{r^5}{4}\cdot\frac{x^2}{r^2}(1-\frac{x^2}{r^2})^2+C$$

因此，$x^3\sqrt{r^2-x^2}$的原函数为$\frac{r^5}{4}\cdot\frac{x^2}{r^2}(1-\frac{x^2}{r^2})^2+C$。