线性代数特征值与行列式关系

在线性代数中，特征值和行列式之间存在紧密的关系。

对于给定的一个方阵A，其特征值λ满足如下条件：当从矩阵A减去λ倍单位矩阵I之后得到的新矩阵的行列式等于0时，即det(A - λI) = 0，那么λ就是该矩阵A的一个特征值。这个等式被称为特征多项式，而求解此多项式的根的过程则称为寻找矩阵的特征值。

具体来说：

- 如果有一个$n \times n$大小的矩阵$\mathbf{A}$，它的特征值可以通过解决下面的特征方程获得：
$$\text{det}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})=0$$
这里$\mathbf{I}$表示相同维度下的单位矩阵，$\lambda$代表要找寻的特征值。

- 行列式可以看作是一个函数，它接受一个方形矩阵作为输入，并输出一个单一数值。对于实数或复数域上的$n\times n$矩阵而言，如果行列式不为零，则意味着该矩阵是可逆的或者说非奇异的；反之，若行列式为零，则表明矩阵不可逆或者说是奇异的。

- 当考虑一个线性变换所对应的矩阵时，行列式提供了关于体积缩放的信息——绝对值给出了平行多面体（由基向量张成的空间区域）被拉伸或压缩的程度，符号指示了定向是否发生了改变。

因此，在计算某个特定矩阵的所有可能的特征值的过程中，实际上是在确定哪些标量可以使原矩阵变为奇异状态，也就是那些让$(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})$不再满秩从而导致其行列式为零的情况。

此外，还有一个重要的性质连接着特征值与行列式：一个方阵的行列式等于其所有特征值乘积之和（考虑到重复度）。这意味着如果我们知道了一个矩阵所有的特征值，就可以很容易地算出行列式的值。