编写一段Python代码，其功能为：导入一幅图像，对其进行离散余弦变换，变换后分别保留三种不同数量的低频成分。之后再观察其逆变换后的图像，并简要叙述离散余弦变换的原理和步骤

要在Python中使用numpy和matplotlib完成离散余弦变换(DCT)和逆DCT操作，我们可以参考下面的代码示例。这里我们假设你已经有了一个名为'image.png'的图像文件。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fftpack import dct, idct

# 1. 导入和预处理图像
def load_image(file_name):
    img = plt.imread(file_name, mode='RGB') / 255.0  # 转换为0-1范围内的浮点数
    img = np.mean(img, axis=-1)  # 只保留灰度通道
    return img

# 2. 离散余弦变换
def dct_transform(image, n_components):
    img_dct = dct(np.abs(image))  # 取绝对值并进行离散余弦变换
    low_freqs = img_dct[:, :n_components]  # 选取前n_components个系数作为低频成分
    high_freqs = img_dct[:, n_components:]  # 其他为高频成分
    
    return low_freqs, high_freqs

# 3. 逆离散余弦变换
def inverse_dct(low_freqs, n_components):
    img_low_freq = low_freqs / len(image)  # 乘以长度以保持能量不变
    reconstructed = idct(img_low_freq)
    return reconstructed

# 4. 实现和显示
image_path = 'image.png'
image = load_image(image_path)

# 保留50%、75%和90%的低频成分
for n in [int(len(image)/2), int(3*len(image)/4), len(image)-1]:
    low_freqs, _ = dct_transform(image, n)
    recon_img = inverse_dct(low_freqs, n)

    plt.figure(figsize=(8, 4))
    plt.subplot(1, 3, 1)
    plt.imshow(image, cmap='gray')
    plt.title(f"Original (all frequencies)")
    
    plt.subplot(1, 3, 2)
    plt.imshow(recon_img, cmap='gray')
    plt.title(f"Reconstructed with {n} lowest frequency components")

plt.tight_layout()
plt.show()

# 离散余弦变换原理和步骤概述：
- DCT是一种将信号从时域转换到频率域的方法，主要用于数据压缩和图像编码等。
- 它将图像的每个像素表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，其中低频分量对应较大的系数，而高频分量对应较小的系数。
- 步骤包括取绝对值、按列展开、逐行做离散余弦变换，得到DCT系数矩阵。
- 通过选择保留特定数量的低频系数，可以控制重构图像的复杂性和信息损失程度。