设线性变换A在基ε1，ε2的矩阵为（2 1 3 1），线性变换B在基ε1，ε2下的矩阵为（1 5 -1 1），那么A+B在基ε1，ε2下的矩阵为

线性变换A在基ε1，ε2下的矩阵为：

[ 2  3 ]
[ 1  1 ]

线性变换B在基ε1，ε2下的矩阵为：

[ 1 -1 ]
[ 5  1 ]

那么A+B在基ε1，ε2下的矩阵为两个矩阵相加：

[ 2  3 ]    [ 1 -1 ]
[ 1  1 ] +  [ 5  1 ] = 
[ 3  2 ]
[ 6  2 ]

因此，A+B在基ε1，ε2下的矩阵为：

[ 3  2 ]
[ 6  2 ]

相关问题

令X = (x11 x12 x21 x22)属于R2*2，定义线性变换σ(X) = AX,其中A = (2 -1 3 -8),则σ在基ε1 = (1 0 0 0),ε2 = (0 1 0 0),ε3 = (0 0 1 0),ε4 = (0 0 0 1)下的矩阵

首先，我们需要将基向量ε1, ε2, ε3, ε4通过线性变换σ(X)映射到新的向量中，然后再将这些向量表示成新基下的坐标。具体地，我们有：

σ(ε1) = Aε1 = (2 -1 3 -8) * (1 0 0 0)^T = (2 0 0 0)^T
σ(ε2) = Aε2 = (2 -1 3 -8) * (0 1 0 0)^T = (-1 1 0 0)^T
σ(ε3) = Aε3 = (2 -1 3 -8) * (0 0 1 0)^T = (3 0 -8 0)^T
σ(ε4) = Aε4 = (2 -1 3 -8) * (0 0 0 1)^T = (0 0 0 -8)^T

然后，我们将这些向量表示成新基下的坐标。由于四个向量都是R4中的向量，因此它们在新基下的坐标可以表示成一个4*4的矩阵P，其中第i列为第i个向量在新基下的坐标。于是我们可以得到：

P = [2 -1 3 0; 0 1 0 0; 0 0 -8 0; 0 0 0 -8]

因此，线性变换σ(X)在基ε1, ε2, ε3, ε4下的矩阵为P，即：

σ(P) = AP = [2 -1 3 0; 0 1 0 0; 0 0 -8 0; 0 0 0 -8]

多元线性回归矩阵为什么多一列1

在多元线性回归中，我们引入一个额外的列向量，其元素都为1，是为了考虑截距（intercept）的影响。

在线性回归模型中，除了自变量和因变量之间的线性关系，我们还希望考虑到截距项。截距项表示在自变量为0时，因变量的期望值。通过引入一个额外的自变量，该自变量的取值恒为1，我们可以将截距项作为线性回归模型中的一个参数来估计。

假设我们有k个自变量，那么对于每个观测样本，我们可以将自变量的值表示为一个向量x = [x₁, x₂, ..., xₖ]。为了引入截距项，我们在x向量前面加上一个额外的元素1，得到新的向量x' = [1, x₁, x₂, ..., xₖ]。这样，我们的线性回归模型可以写成：

Y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₖxₖ + ε

其中，β₀表示截距项，β₁, β₂, ..., βₖ表示自变量的系数，ε表示误差项。

通过引入这个额外的列向量，我们可以用矩阵形式表示多元线性回归模型：

Y = Xβ + ε

其中，Y是因变量的向量，X是自变量的矩阵，β是模型参数的向量，ε是误差的向量。

X矩阵的第一列都是1，表示截距项。这样，我们就可以使用矩阵运算来进行参数估计和预测。同时，通过引入截距项，我们能更好地捕捉到因变量在自变量为0时的期望值。