系统稳定性的判定。 给定一线性移不变系统的差分方程为:y(n)=x(n)+0.5y(n-1) ① 求解系统当输入序列为x(n)=u(n)时的响应检验系统是否稳定,画出系统输出波形; ② 给定输入信号为x(n)=cos(0.01n)+cos(0.1n),求解系统的响应并画波形。

首先，我们需要判断系统的稳定性。一个线性移不变系统是稳定的，当且仅当其单位脉冲响应的绝对和是有限的。对于差分方程y(n)=x(n)+0.5y(n-1)，可以得到其单位脉冲响应为h(n)=0.5^n u(n)，其中u(n)是单位阶跃函数。

计算其绝对和：
∑|h(n)|=∑0.5^n
=1+0.5+0.25+…
=2

因此，系统是稳定的。

接下来，我们分别用输入序列x(n)=u(n)和x(n)=cos(0.01n)+cos(0.1n)来求解系统的响应并画波形。

当输入序列为x(n)=u(n)时，系统的差分方程为y(n)=u(n)+0.5y(n-1)，初始条件为y(-1)=0。根据递推公式可以得到：

y(0)=1
y(1)=1.5
y(2)=1.75
y(3)=1.875
...

画出系统输出波形如下图所示：


当输入信号为x(n)=cos(0.01n)+cos(0.1n)时，系统的差分方程为y(n)=cos(0.01n)+cos(0.1n)+0.5y(n-1)，初始条件为y(-1)=0。根据递推公式可以得到：

y(0)=1
y(1)=1.5+cos(0.01)+cos(0.1)
y(2)=1.75+cos(0.02)+cos(0.2)+0.5(cos(0.01)+cos(0.1))
y(3)=1.9375+cos(0.03)+cos(0.3)+0.5(cos(0.02)+cos(0.2))

画出系统输出波形如下图所示：