3. 用动态规划解决最长公共子序列问题。 算法设计思路和伪代码

动态规划是一种常用于解决最长公共子序列问题的算法。其主要思路是将问题分解为一系列子问题，并通过子问题的最优解来求得原问题的最优解。具体来说，我们可以采用二维矩阵来表示两个序列之间的匹配情况，其中矩阵中的每个元素表示两个序列中当前位置的匹配情况。通过填充这个矩阵，我们可以得到最长公共子序列的长度以及该子序列本身。

以下是最长公共子序列问题的动态规划算法的伪代码：

function LCS(X, Y)
    m = length(X)
    n = length(Y)
    L = new matrix(m+1, n+1)

    for i = 0 to m
        for j = 0 to n
            if i == 0 or j == 0
                L[i][j] = 0
            else if X[i-1] == Y[j-1]
                L[i][j] = L[i-1][j-1] + 1
            else
                L[i][j] = max(L[i-1][j], L[i][j-1])

    return L[m][n], backtrack(L, X, Y, m, n)

function backtrack(L, X, Y, i, j)
    if i == 0 or j == 0
        return ""
    else if X[i-1] == Y[j-1]
        return backtrack(L, X, Y, i-1, j-1) + X[i-1]
    else if L[i-1][j] > L[i][j-1]
        return backtrack(L, X, Y, i-1, j)
    else
        return backtrack(L, X, Y, i, j-1)

在上述算法中，我们首先创建了一个 `(m+1) x (n+1)` 的矩阵 `L`，其中 `m` 和 `n` 分别是两个序列的长度。在填充矩阵的过程中，我们通过判断当前位置的字符是否相同来更新矩阵中的元素值。具体来说，如果相同，我们将该位置的值设置为左上角元素的值加一；否则，我们将该位置的值设置为左侧或上方元素中较大的那个值。

通过填充完整个矩阵，我们可以得到最长公共子序列的长度 `L[m][n]`，并通过 `backtrack` 函数来找到该子序列本身。该函数通过递归地遍历矩阵，从右下角开始，根据元素值的大小关系来确定最长公共子序列中的字符。

时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是两个序列的长度。