Mathematica 中将 高 斯 波 :u[x, 0] == Exp[-x^2/(b*w^2)]作 初 值 时 , 求 解 衍 射 傍 轴 方 程 :I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}] == 0(k=2*Pi/\[Lambda])。比较 b=1,b=2 和 b=4 时强度随着传输距离 z 增加 演化图,分析不同位置能 量 变 化 规 律Integrate[(Abs[u[x, 3]])^2, {x, -Infinity, Infinity}]
时间: 2024-01-31 15:03:23 浏览: 175
好的,我理解了您的问题。这是一个偏微分方程求解的问题,需要使用数学软件 Mathematica 进行求解。以下是解决方案:
首先,我们需要定义一些变量和参数:
```
k = 2*Pi/\[Lambda];
w = 1;
```
然后,我们可以使用 NDSolve 函数来求解衍射傍轴方程。在这里,我们将初始条件设置为高斯波:
```
sol[b_] := NDSolve[{I*D[u[x, z], z] + 1/(2*b^2)*D[u[x, z], {x, 2}] == 0,
u[x, 0] == Exp[-x^2/(b*w^2)]}, u, {x, -10, 10}, {z, 0, 10}]
```
这里,我们定义了一个名为 sol 的函数,它接受一个参数 b,表示高斯波的参数。在函数体内,我们调用 NDSolve 函数来解决衍射傍轴方程。注意,我们使用 u[x, z] 表示解,而不是 u,因为我们可能需要使用该函数的不同版本(例如,针对不同的 b 值)。
接下来,我们可以使用 Plot3D 函数来绘制不同 b 值下的解的演化图:
```
Plot3D[Evaluate[Abs[u[x, z]]^2 /. sol[#]], {x, -10, 10}, {z, 0, 10},
PlotRange -> All, AxesLabel -> {"x", "z", "|u|^2"}, Mesh -> None,
ColorFunction -> "Rainbow", PlotLegends -> Automatic] & /@ {1, 2, 4}
```
这里,我们使用 Evaluate 函数来确保 u[x, z] 的解被正确地插入到 Plot3D 函数中。我们使用 # 来表示 sol 函数的参数,即 b 值。最后,我们使用 /@ 来对不同的 b 值进行迭代。
最后,我们可以使用 Integrate 函数来计算不同位置的能量变化规律:
```
Table[Integrate[Abs[u[x, z]]^2 /. sol[1], {x, -Infinity, Infinity}],
{z, 0, 10, 1}]
```
这里,我们使用 Table 函数来对不同的 z 值进行迭代。注意,我们在 sol 函数中使用了 b=1,因此我们在计算能量时也需要使用该值。
希望这个解决方案能够帮助到您!
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