完成冒泡排序算法的设计（void BubbleSortO），对数组a中的n个整数类型的数据元素从小到大排序，上述功能定义在一个头文件中，并定义主函数的源文件，并验证结果；然后，分析该算法的时间复杂度。

首先，我们将在一个头文件`BubbleSort.h`中定义冒泡排序算法的函数原型：

#ifndef BubbleSort_h
#define BubbleSort_h

#include <stdbool.h> // 包含布尔类型
#include <stdio.h> // 包含输入输出函数

void BubbleSortO(int arr[], size_t n); // 函数声明

bool is_sorted(int arr[], size_t n); // 检查数组是否已排序

#endif // BubbleSort_h

接着，我们会在`BubbleSort.c`文件中实现这个算法及其辅助函数：

#include "BubbleSort.h"

void BubbleSortO(int arr[], size_t n) {
    bool swapped;
    for (size_t i = 0; i < n - 1; i++) {
        swapped = false;
        for (size_t j = 0; j < n - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                int temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
                swapped = true;
            }
        }
        // 如果一轮循环未发生交换，则数组已经排序完成
        if (!swapped)
            break;
    }
}

bool is_sorted(int arr[], size_t n) {
    for (size_t i = 1; i < n; i++)
        if (arr[i] < arr[i - 1])
            return false;
    return true;
}

int main() {
    int test_array[] = {5, 2, 8, 1, 9, 4};
    size_t n = sizeof(test_array) / sizeof(test_array[0]);

    BubbleSortO(test_array, n);

    printf("Sorted array: ");
    for (size_t i = 0; i < n; i++)
        printf("%d ", test_array[i]);
    printf("\n");

    if (is_sorted(test_array, n))
        printf("The array is sorted.\n");
    else
        printf("The array is not sorted.\n");

    return 0;
}

在`main`函数中，我们创建了一个测试数组，然后调用`BubbleSortO`对其进行排序，最后检查是否真的按升序排列。

关于冒泡排序的时间复杂度分析：
- 最好情况（数组已经排序）：每次循环都没有交换，时间复杂度是O(n)，因为只进行一次遍历。
- 平均情况和最坏情况：每个元素都需要比较和交换其位置，总共需要n*(n-1)/2次比较，时间复杂度是O(n^2)。
- 总结：尽管冒泡排序易于理解和实现，但对于大数据集，它的效率较低，更适合小型或者几乎有序的数组。