使用C++编写完整代码，并描述思路及时间复杂度：运动会开了N天，一共发出金牌M枚。第1天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第2天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。请设计递归算法求N和M。

首先，我们需要理解这是一个典型的等差数列求和的问题，其中每天发放的金牌数量构成了一个公差为1的等差序列。给定最后一天恰好发出了所有金牌，我们可以通过递归的方式计算总天数N和总金牌数M。

我们可以创建一个函数`findGoldMedals(int remainingMedals, int day)`，该函数接收剩余未颁发的金牌数`remainingMedals`和当前的日期`day`作为参数。当剩余金牌为0时，说明已经颁发完了所有的金牌，此时返回`day`作为天数，因为这是第N天。如果还有金牌剩下，那么我们就需要发放今天的金牌（即`day`的数量），然后递归地计算剩余金牌发放所需的天数。

递归的基本情况是：`findGoldMedals(remainingMedals, day) = findGoldMedals(remainingMedals - day, day + 1)`。在这个公式中，`remainingMedals - day`表示今天发放了`day`枚金牌后剩下的金牌数，`day + 1`则是进入下一天后的天数。

以下是C++的完整代码：

#include <iostream>

int findGoldMedals(int remainingMedals, int day) {
    if (remainingMedals == 0) {
        return day;
    } else {
        // 每天发放当前日期的金牌数再加上剩余金牌的1/7
        int dailyAward = day + remainingMedals / 7;
        // 更新剩余金牌数
        remainingMedals -= dailyAward;
        // 进入下一天
        return findGoldMedals(remainingMedals, day + 1);
    }
}

int main() {
    int totalDays = findGoldMedals(M, 1); // M代表总数，这里是未知的
    std::cout << "Total days: " << totalDays << std::endl;
    std::cout << "Total medals: " << N * totalDays << std::endl; // 总金牌数 = 天数 * 最初的金牌发放速度
    return 0;
}

这个算法的时间复杂度是O(N)，因为我们对每个剩余的金牌都进行了递归处理。空间复杂度也是O(N)，因为递归调用栈的深度最多达到N。