假设某粒⼦加速器释放3种粒⼦——α粒⼦, β粒⼦, γ粒⼦, 释放的粒⼦数分别服从强度为 λ1、λ2、λ3的Poisson过程, 且相互独⽴. 令T表⽰⾸次出现所有3种粒⼦的时刻, 求T的密 度函数.

我们可以用以下的方法来求解T的密度函数：

令F(t)为T小于等于t的概率，即出现所有三种粒子的时间小于等于t的概率。我们可以用全概率公式来计算F(t)：

F(t) = P(T <= t) = ∑∑∑P(第一次出现α粒⼦时间为s1，第一次出现β粒⼦时间为s2，第一次出现γ粒⼦时间为s3)

其中，s1 <= t, s2 <= t, s3 <= t。由于三种粒子的释放是相互独立的，因此上式可以进一步化简：

F(t) = ∑∑∑P(第一次出现α粒⼦时间为s1) × P(第一次出现β粒⼦时间为s2) × P(第一次出现γ粒⼦时间为s3)

其中，P(第一次出现α粒⼦时间为s1) = λ1 * e^(-λ1*s1)，P(第一次出现β粒⼦时间为s2) = λ2 * e^(-λ2*s2)，P(第一次出现γ粒⼦时间为s3) = λ3 * e^(-λ3*s3)。

因此，我们可以得到F(t)的表达式：

F(t) = ∫∫∫ λ1*λ2*λ3 * e^(-λ1*s1) * e^(-λ2*s2) * e^(-λ3*s3) * I(0<=s1<=t,0<=s2<=t,0<=s3<=t) ds1 ds2 ds3

其中，I是指示函数，当括号内条件成立时取1，否则取0。

我们可以将F(t)对t求导，即可得到T的密度函数：

f(t) = dF(t)/dt

于是，我们可以将F(t)代入上式，对t求导，得到T的密度函数为：

f(t) = λ1*λ2*λ3 * ∫∫∫ e^(-λ1*s1) * e^(-λ2*s2) * e^(-λ3*s3) * I(0<=s1<=t,0<=s2<=t,0<=s3<=t) ds1 ds2 ds3

这就是T的密度函数。