请证明$H(\Theta \given \Theta^t)$满足以下性质: \begin{align*} \Theta^t = \operatorname{\arg \max}{\Theta} H(\Theta \given \Theta^t). \end{align*} (提示: 使用Jensen不等式) 其中$H(\Theta \given \Theta^t) = \sum{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$, $$Q(\Theta|\Theta^t) = \sum_Z P(Z| \X,\Theta^t)\ln P(\X,Z|\Theta)$$

我们可以使用Jensen不等式来证明这个性质。Jensen不等式指出，对于一个凸函数$f(x)$，有$f(\mathbb{E}[x]) \leq \mathbb{E}[f(x)]$，其中$x$是一个随机变量，$\mathbb{E}[x]$是$x$的期望。这里，我们将$f(x) = \ln{x}$。

首先，我们注意到$log$是一个凸函数。然后我们使用Jensen不等式，得到：

$$\ln \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) = \ln 1 = 0 \leq \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \ln \frac{P(\bds{Z} \given \X, \Theta)}{\sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta)}$$

对于任意的$\Theta$都成立，因此：

$$\ln \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \leq \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta)$$

接下来，我们将证明，对于给定的$\Theta^t$，$H(\Theta \given \Theta^t)$在$\Theta^t$处取得最大值。我们有：

\begin{align*} & H(\Theta^t \given \Theta^t) - H(\Theta \given \Theta^t) \\ &= \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) - \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \\ &= \sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) \ln \frac{P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t)}{P(\bds{Z} \given \X, \Theta)} \end{align*}

因为$H(\Theta^t \given \Theta^t)$是一个常数，所以我们只需要考虑$H(\Theta \given \Theta^t)$的值。为了使$H(\Theta \given \Theta^t)$最大化，我们需要最小化$\sum_{\bds{Z}} P(\bds{Z} \given \X, \Theta) \ln \frac{P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t)}{P(\bds{Z} \given \X, \Theta)}$。我们可以看作是最小化KL散度$D_{KL}(P(\bds{Z} \given \X, \Theta^t) || P(\bds{Z} \given \X, \Theta))$。因此，当$\Theta = \Theta^t$时，$H(\Theta \given \Theta^t)$取得最小值。这证明了$H(\Theta \given \Theta^t)$在$\Theta^t$处取得最大值。

因此，我们有：

\begin{align*} \Theta^t = \operatorname{\arg \max}{\Theta} H(\Theta \given \Theta^t). \end{align*}