|A||A∗|=|A|n|𝐴||𝐴∗|=|𝐴|𝑛证明

这里提到的公式 \( |A \cdot A^*| = |A|^n \) 是矩阵乘积和矩阵幂的关系，其中 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的复数矩阵，\( A^* \) 表示它的共轭转置，即其元素取复共轭后按行排列形成的矩阵，而 \( |A| \) 指的是矩阵 \( A \) 的行列式。

这个等式意味着矩阵 \( A \) 和其共轭转置相乘的结果的行列式等于原矩阵 \( A \) 的行列式自乘 \( n \) 次。实际上，当 \( A \) 是正交矩阵（\( AA^*=I\) 或 \( A^*A=I\)），即它自身及其逆矩阵相等时，才会有这样的性质成立，因为此时 \( A^n=A^{n-1} \cdot A = I^n = I \)，所以 \( |A^n| = |I| = 1 \)，进而得出 \( |A \cdot A^*| = |A|^n \)。

但是，如果没有额外的假设保证 \( A \) 有此特性，一般情况下 \( |A \cdot A^*| \) 可能不会简化为 \( |A|^n \)，特别是对于非正规矩阵而言。