电桥法测量电容公式推导

电桥法，尤其是惠斯通电桥，是一种常见的用来精确测量电阻、电感和电容等元件值的方法。对于测量电容，我们通常使用交流电桥，因为电容对交变电流有反应。

在最简单的惠斯通电桥设计中，电容\( C \)接在两个臂上，而一个已知阻抗\( R_1 \)在另一个臂上，还有可调节的电阻\( R_2 \)作为补偿。当电桥平衡时，即电压相等，我们可以得到以下平衡方程：

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{X_C}{Z_{in}} \]

其中 \( X_C = j\omega C \) 是电容\( C \)在给定频率\( \omega \)下的感抗，\( Z_{in} = R_1 + jX_C \)是输入端总的复数阻抗。\( j \)是虚数单位，满足\( j^2 = -1 \)。

将感抗代入上述方程并整理，我们得到：

\[ R_2 = \frac{R_1}{1 + (\omega CR_1)} \]

通过测量电桥平衡时\( R_2 \)的值以及已知的\( R_1 \)，可以计算出电容\( C \)的大小。具体公式是：

\[ C = \frac{R_1}{\omega R_2 - 1} \]