设f(x)=2*x^7-4*x^3+x+3,f[2^0,2^1,...,2^7]=?使用牛顿插值公式直接给出数字答案

好的，根据牛顿插值公式，我们需要先求出一阶差商和二阶差商，然后代入公式即可。

一阶差商为：

f[2^1]-f[2^0]=f[2]-f[1]=21
f[2^2]-f[2^1]=f[4]-f[2]=699
f[2^3]-f[2^2]=f[8]-f[4]=32741
f[2^4]-f[2^3]=f[16]-f[8]=2097147
f[2^5]-f[2^4]=f[32]-f[16]=16777299
f[2^6]-f[2^5]=f[64]-f[32]=167772725
f[2^7]-f[2^6]=f[128]-f[64]=2147483643

二阶差商为：

f[2^2]-2*f[2^1]+f[2^0]=678
f[2^3]-2*f[2^2]+f[2^1]=32042
f[2^4]-2*f[2^3]+f[2^2]=2033620
f[2^5]-2*f[2^4]+f[2^3]=16252940
f[2^6]-2*f[2^5]+f[2^4]=162529200
f[2^7]-2*f[2^6]+f[2^5]=2061584300

代入牛顿插值公式，得到：

f[2^0,2^1,...,2^7] = f[2^0] + 21*(x-2^0) + 678*(x-2^0)*(x-2^1) + 32042*(x-2^0)*(x-2^1)*(x-2^2) + 2033620*(x-2^0)*(x-2^1)*(x-2^2)*(x-2^3) + 16252940*(x-2^0)*(x-2^1)*(x-2^2)*(x-2^3)*(x-2^4) + 162529200*(x-2^0)*(x-2^1)*(x-2^2)*(x-2^3)*(x-2^4)*(x-2^5) + 2061584300*(x-2^0)*(x-2^1)*(x-2^2)*(x-2^3)*(x-2^4)*(x-2^5)*(x-2^6)

将 x 替换为 2^8 = 256，得到：

f[2^0,2^1,...,2^7] = 2*256^7 - 4*256^3 + 256 + 3 = 36893488148119173

因此，f[2^0,2^1,...,2^7] 的值为 36893488148119173。