背包九讲完整版.pdf

时间: 2024-01-29 17:00:49 浏览: 177

背包九讲(pdf格式)

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### 背包九讲(pdf格式) #### 动态规划之背包问题详解 **背包问题**是一类典型的动态规划问题，在计算机科学与编程竞赛中占有重要地位。它不仅考验解决问题的能力，还涉及到优化策略的选择。根据不同的条件设定，背包问题可以细分为多种类型：01背包、完全背包、多重背包、组合背包等。下面将详细介绍这些概念及其解决方案。 ##### 一、01背包问题 01背包问题是最基础的一种背包问题，指的是在给定一个容量为W的背包和n个物品的情况下，每个物品都有一定的重量wi和价值vi。对于每一个物品，可以选择放入背包或不放入背包，且每种物品只能选择一次（即0或1）。目标是在不超过背包容量的前提下最大化背包内物品的总价值。 **状态转移方程：** \[f[i][j] = \max\{f[i-1][j], f[i-1][j-w_i]+v_i\}\] 这里，`f[i][j]`表示前i个物品放进容量为j的背包时所能获得的最大价值；`f[i-1][j]`表示第i个物品不放入背包的情况；`f[i-1][j-w_i]+v_i`表示第i个物品放入背包的情况。 **模板代码示例：** ```cpp for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = W; j >= w[i]; j--) { f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]); } } ``` ##### 二、完全背包问题完全背包问题与01背包问题类似，区别在于每种物品都可以无限次地放入背包中。 **状态转移方程：** \[f[i][j] = \max\{f[i-1][j], f[i][j-w_i]+v_i\}\] 注意这里状态转移方程中的`f[i][j-w_i]+v_i`，表示可以继续考虑将当前物品放入剩余空间。 **模板代码示例：** ```cpp for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = w[i]; j <= W; j++) { f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]); } } ``` ##### 三、多重背包问题多重背包问题是指每种物品有一个固定的次数上限k，即每种物品最多只能放入k次。 **解决策略：** 1. **展开法**：将多重背包转化为多个01背包问题处理。 2. **二进制优化**：利用二进制的思想进行优化处理，减少状态数量。 **模板代码示例（展开法）：** ```cpp for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int k = 0; k < cnt[i]; k++) { // cnt[i]为第i种物品的数量 for (int j = W; j >= w[i]; j--) { f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]); } } } ``` **模板代码示例（二进制优化）：** ```cpp int k = log2(cnt[i]) + 1; for (int j = 1; j < k; j++) { dp[j * w[i]] = dp[(j - 1) * w[i]] + v[i]; } for (int j = w[i]; j <= W; j++) { for (int p = 0; p < k; p++) { if (j >= (1 << p) * w[i]) { f[j] = max(f[j], f[j - (1 << p) * w[i]] + dp[p * w[i]]); } } } ``` ##### 四、组合背包问题组合背包问题是指将以上几种背包问题结合起来考虑，如同时存在01背包、完全背包和多重背包的情况。 **解决策略：** - 分别处理不同类型的背包问题，再结合整体考虑。 - 使用高级的数据结构（如线段树、树状数组等）来优化状态转移过程。 **模板代码示例（简化版）：** ```cpp // 处理01背包 for (int i = 1; i <= n1; i++) { for (int j = W; j >= w1[i]; j--) { f[j] = max(f[j], f[j - w1[i]] + v1[i]); } } // 处理完全背包 for (int i = 1; i <= n2; i++) { for (int j = w2[i]; j <= W; j++) { f[j] = max(f[j], f[j - w2[i]] + v2[i]); } } // 处理多重背包 for (int i = 1; i <= n3; i++) { for (int k = 0; k < cnt3[i]; k++) { for (int j = W; j >= w3[i]; j--) { f[j] = max(f[j], f[j - w3[i]] + v3[i]); } } } ``` ##### 五、二维费用的背包问题二维费用的背包问题是指每个物品除了有重量和价值之外，还有一个额外的维度（比如体积），需要同时满足两个维度的约束。 **状态转移方程：** \[f[i][j][k] = \max\{f[i-1][j][k], f[i-1][j-w_{i}^1][k-w_{i}^2]+v_i\}\] 这里，`w_{i}^1`和`w_{i}^2`分别代表第i个物品的重量和体积。 **模板代码示例：** ```cpp for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = W1; j >= w1[i]; j--) { for (int k = W2; k >= w2[i]; k--) { f[j][k] = max(f[j][k], f[j - w1[i]][k - w2[i]] + v[i]); } } } ``` ##### 六、分组的背包问题分组背包问题是一种特殊的背包问题，通常涉及到物品之间存在某种关系或分组。例如，某些物品必须成对出现，或者某些物品不能同时出现在背包中。 **解决策略：** - 对于成对出现的物品，可以考虑先按照一定顺序排序，然后依次处理。 - 对于不能同时出现的物品，可以通过预处理的方式，预先计算出不能同时出现的物品组合的价值，然后再进行状态转移。 **模板代码示例（简化版）：** ```cpp // 假设物品按对出现 for (int i = 1; i <= n / 2; i++) { for (int j = W; j >= w[i * 2 - 1] + w[i * 2]; j--) { f[j] = max(f[j], f[j - w[i * 2 - 1] - w[i * 2]] + v[i * 2 - 1] + v[i * 2]); } } ``` ##### 七、有依赖的背包问题有依赖的背包问题是指物品之间存在某种依赖关系，比如只有在选择了某个物品之后才能选择另一个物品。 **解决策略：** - 通过构建依赖图，使用拓扑排序等方式找出依赖关系。 - 对于依赖关系明确的物品，可以采用递归的方式进行处理。 **模板代码示例（简化版）：** ```cpp void dfs(int u) { for (int i = 1; i <= n; i++) { if (u & (1 << i)) continue; // 已经被处理过 if ((u | (1 << i)) == u + (1 << i)) { // 满足依赖关系 f[u + (1 << i)] = max(f[u + (1 << i)], f[u] + v[i]); dfs(u + (1 << i)); } } } dfs(0); ``` 通过以上的介绍，我们可以看到背包问题虽然看似简单，但实际上包含了非常丰富的变化和优化技巧。在实际应用中，往往需要根据具体问题的特点灵活运用这些知识，以达到最优解。

《背包九讲完整版.pdf》是一本关于背包问题的完整讲解和解决方案的书籍。背包问题是著名的组合优化问题，经常在计算机科学和数学领域中被提及。这本书的内容涵盖了从基础概念到高级应用的全面解析。在《背包九讲完整版.pdf》中，首先介绍了背包问题的基本概念和分类，包括0/1背包问题、多重背包问题、无界背包问题等。随后详细讲解了各类背包问题的解决思路和算法，例如动态规划、贪心算法、分支界限法等。此外，书中还探讨了背包问题在实际应用中的具体案例和解决方案，例如在物流管理、资源分配、金融投资等领域的应用。总的来说，《背包九讲完整版.pdf》内容丰富、观点独特、解析透彻，适合计算机科学、数学以及相关领域的专业人士和学习者阅读。读者可以通过学习这本书，深入理解背包问题的本质和求解方法，提高自己的问题解决能力和实践应用能力。同时，书中的案例也为读者提供了丰富的实际应用场景，有助于将理论知识转化为实际解决问题的技能。

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