1.2判断系统T(x[n])= x[n]+ 3u[n＋1]的因果性、线性、时不变性、稳定性以及记忆性。1.3已知线性系统，输入为x[n]=u[n-k]，其响应为y[n]=ko[n-k],求输入为x1[n]= o[n-k]时的响应。

1.2 判断系统T(x[n])= x[n] 3u[n＋1]的因果性、线性、时不变性、稳定性以及记忆性。

- 因果性：该系统不是因果系统，因为输出y[n]依赖于输入x[n]的未来值u[n+1]。
- 线性性：该系统是线性系统，因为对于任意的输入序列x1[n]和x2[n]以及任意的常数a、b，都有T(ax1[n] + bx2[n]) = aT(x1[n]) + bT(x2[n])。
- 时不变性：该系统是时不变系统，因为系统的输出只与当前时刻的输入有关，与时间无关。
- 稳定性：该系统是稳定系统，因为输入信号有界时，输出信号也有界。
- 记忆性：该系统没有记忆，因为输出y[n]只与当前时刻的输入有关，与过去的输入无关。

1.3 已知线性系统，输入为x[n]=u[n-k]，其响应为y[n]=ko[n-k]，求输入为x1[n]=o[n-k]时的响应。

根据线性系统的性质，可以将输入信号x1[n]看作是输入信号x[n]的系数为1的加权和，即x1[n] = 1 * x[n]。因此，输出信号y1[n]也可以看作是输出信号y[n]的系数为1的加权和，即y1[n] = 1 * y[n]。

根据已知的输入信号x[n]和输出信号y[n]，可以得到系统的冲激响应h[n]为：

h[n] = y[n]/x[n] = ko[n-k]/u[n-k] = k

因此，输入信号为x1[n]=o[n-k]时的输出信号y1[n]为：

y1[n] = h[n] * x1[n] = k * o[n-k] = kδ[n-k]

相关问题

求下列齐次线性方程组的一个基础解系与通解2a+3b+4c-3d-4e=0;a+2b+c-d-3e=0;3a+7b+c-2d-11e=0;;2a+4b+2c-2d-6e=0

我们可以将方程组表示为增广矩阵的形式：

$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 3 & 4 & -3 & -4\\1 & 2 & 1 & -1 & -3 & 0\\3 & 7 & 1 & -2 & -11 & 0\\2 & 4 & 2 & -2 & -6 & 0\end{matrix}\right]$$

然后，对该矩阵进行行变换，得到它的行简化阶梯形式：

$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 & -1 & -3 & 0\\0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$

我们可以发现，前两行构成一个系数矩阵 $A$ 的一个秩为 $2$ 的矩阵，而后两行都是零，因此该方程组的通解为：

$$\left\{\begin{aligned}a &= -2s - t - 3u\\b &= -s - 2t + u\\c &= s - t\\d &= 2t\\e &= u\end{aligned}\right.$$

其中 $s,t,u$ 是任意实数，这里我们可以取它们为 $1$，$0$，$0$，得到一个基础解系：

$$\{\ (-2, -1, 1, 0, 0),\ (-1, -2, 0, 1, 0),\ (-3, 0, -1, 0, 1)\ \}$$

因此，该方程组的通解为：

$$\left\{\ a\cdot(-2, -1, 1, 0, 0) + b\cdot(-1, -2, 0, 1, 0) + c\cdot(-3, 0, -1, 0, 1)\ \middle|\ a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$$

系统的传递函数为G(s)=30s+60s4+18.4s3+128.2s2+407.2s+508 。其单位阶跃响应函数可以表达为： y(t)=K+Aδ(t)+BeCt+DtFeGt+HeMtcos(ωt+β) ，(t≥0 )。 其中 K、A、B、C、D、F、G、H、M、ω 、β 是单位阶跃响应中各分量的实数系数。则可求得它们的值分别为

为了求解各分量系数的值，我们可以使用部分分式分解和拉普拉斯变换。

首先，将传递函数进行部分分式分解：

G(s) = 3/(s+1) + 10/(s+2) + 5/(s+2)^2 + 2/(s+2)^3 + 10/(s+5)

接下来，可以根据单位阶跃函数的拉普拉斯变换形式：

L{u(t)} = 1/s

将上面的部分分式分解式子代入传递函数，得到单位阶跃函数的拉普拉斯变换：

G(s) = 3/(s+1) + 10/(s+2) + 5/(s+2)^2 + 2/(s+2)^3 + 10/(s+5) = 3L{u(t)} + 10e^(-2t)L{u(t)} + 5t e^(-2t)L{u(t)} + (5/2)t^2 e^(-2t)L{u(t)} + 10e^(-5t)L{u(t)}

根据拉普拉斯变换的线性性质，可以得到单位阶跃响应的拉普拉斯变换：

Y(s) = K/s + A + B/(s+2) + C/(s+2)^2 + D/(s+2)^3 + F/(s+5)

其中 K、A、B、C、D、F 是常数系数。

接下来，我们需要将 Y(s) 进行反演得到单位阶跃响应 y(t)：

y(t) = L^{-1}{Y(s)}

根据拉普拉斯变换表格，可以得到反演公式：

L^{-1}{1/s} = u(t)
L^{-1}{e^(-at)} = u(t-a)
L^{-1}{1/(s+a)} = e^(-at)u(t)

根据上述公式，可以得到 y(t) 的表达式：

y(t) = K + A u(t) + B e^(-2t) u(t) + C t e^(-2t) u(t) + (1/2) D t^2 e^(-2t) u(t) + F e^(-5t) u(t)

此时，我们需要确定各分量系数的值。由于单位阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应，因此可以得到：

K = 3
A = -3
B = 10
C = -10
D = 5
F = 10

对于余弦项，可以将其表示为正弦项的形式：

H cos(ωt + β) = H cos(β) cos(ωt) - H sin(β) sin(ωt)

因此，可以得到：

M = 0
ω = 0
β = 0

最终，单位阶跃响应函数的表达式为：

y(t) = 3 - 3u(t) + 10e^(-2t)u(t) - 10te^(-2t)u(t) + (5/2)t^2 e^(-2t) u(t) + 10e^(-5t)u(t)