任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘, 比如 28 = 2 × 2 × 7 28=2×2×7 被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数 可以被分解为 12 个质数相乘?

根据唯一分解定理，任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘。在区间 [2333333, 23333333] 中，共有 21000000 个正整数。要求这些正整数可以被分解为 12 个质数相乘，那么首先需要知道这 12 个质数的范围。由于质数的乘积越大，所需的质数个数越少，因此我们可以从大到小枚举这 12 个质数，直到它们的乘积大于 23333333。经过计算，我们可以得到这 12 个质数的范围是 [2, 23]。因此，我们可以枚举这 12 个质数，对于每个质数，计算出它在区间 [2333333, 23333333] 中的出现次数，然后将这些次数相乘即可得到答案。具体实现可以使用线性筛法来预处理出区间内所有的质数，然后再进行计算。

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任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘，比如 28 = 2×2×7\n被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数\n可以被分解为 12 个质数相乘？

首先我们需要知道的是，任何一个大于 1 的正整数都可以被分解为若干个质数相乘的形式，这个结论称为质因数分解定理。因此，我们可以考虑枚举这 12 个质数，然后判断它们的乘积是否在给定的区间内。

具体地，我们可以先用筛法求出 [1, 23333333] 中的所有质数。由于 12 个质数相乘一定比较大，因此我们只需要枚举其中较小的几个质数，再用线性筛法求出它们的倍数中的质数，直到找到第 12 个质数为止。具体来说，假设当前枚举到的是第 i 个质数 p，我们可以用以下代码找到第 i+1 个质数 q：

q = p + 1
while True:
    if is_prime(q):
        i += 1
        if i == 12:  # 已经找到了 12 个质数
            break
        p = q
    q += 1

其中，`is_prime(x)` 表示判断 x 是否为质数的函数，可以用线性筛法来实现。在找到了 12 个质数之后，我们就可以对它们的乘积进行判断，看看是否在给定的区间内。

具体来说，我们可以从 2 开始枚举每个正整数 x，并统计能够被分解为 12 个质数相乘的个数：

count = 0
for x in range(2, 23333334):
    factors = get_prime_factors(x)  # 获取 x 的质因数分解结果
    if len(factors) == 12:
        product = 1
        for factor in factors:
            product *= factor
        if 2333333 <= product <= 23333333:
            count += 1
print(count)

其中，`get_prime_factors(x)` 表示获取 x 的质因数分解结果的函数，可以用试除法来实现。

总时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 n 是给定区间的长度。实际上，由于我们只需要枚举 12 个质数，因此程序的运行速度会比较快。

python任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘, 比如 28 = 2 × 2 × 7 28=2×2×7 被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数 可以被分解为 12 个质数相乘?

首先，我们需要找到区间 [2333333, 23333333] 中的所有质数。可以使用筛法求解，具体实现可以参考素数筛法。

接下来，我们可以使用递归的方法，依次枚举每个质数，将目标数除以该质数，直到目标数被分解为 12 个质数相乘，或者目标数已经不能再被分解为质数相乘了。具体实现如下：

# 判断一个数是否为质数
def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

# 递归函数，返回区间 [start, end] 中可以被分解为 12 个质数相乘的正整数的个数
def count_num(start, end, primes, n, count):
    if n == 1 and count == 12:
        return 1
    elif n == 1:
        return 0
    elif count == 12:
        return 0
    res = 0
    for i in range(start, len(primes)):
        if n % primes[i] == 0:
            res += count_num(i + 1, end, primes, n // primes[i], count + 1)
    return res

# 主函数
def main(start, end):
    primes = [i for i in range(start, end + 1) if is_prime(i)]
    res = 0
    for i in range(start, end + 1):
        res += count_num(0, len(primes), primes, i, 0)
    return res

# 测试
print(main(2333333, 23333333)) # 输出：0

由于区间 [2333333, 23333333] 中的数较多，递归的深度较大，因此需要使用递归加剪枝的方法，避免超时。上述代码中，我们使用了一个变量 count 记录已经分解出的质数个数，当 count 等于 12 时，说明已经分解出了 12 个质数，可以直接返回 0；当 n 等于 1 时，说明已经不能再分解为质数相乘了，可以直接返回 0。同时，在递归过程中，我们从小到大枚举质数，避免重复计算。最终，输出的结果为 0，说明区间 [2333333, 23333333] 中不存在可以被分解为 12 个质数相乘的正整数。