Convex Optimization 规划

凸优化的概念
凸优化是一种特殊的数学优化问题，其目标函数和约束条件均为凸函数。这类问题具有良好的性质，即局部最优解同时也是全局最优解[^1]。因此，在许多实际应用场景中，凸优化成为一种非常重要的工具。
定义
凸优化的目标是最小化一个定义在某个向量空间上的实值函数 ( f(x) )，其中 ( x \in C )，( C ) 是该向量空间中的一个凸集。如果 ( f(x) ) 和所有的不等式约束都是凸函数，则此优化问题是凸优化问题[^2]。
import cvxpy as cp

# Define the variable.
x = cp.Variable()

# Define a convex objective function and constraints.
objective = cp.Minimize((x - 1)**2)
constraints = [0 <= x, x <= 2]

# Formulate and solve the problem.
prob = cp.Problem(objective, constraints)
result = prob.solve()
print("Optimal value", result)
print("Optimal var", x.value)
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上述代码展示了如何利用 cvxpy 库来求解简单的凸优化问题。这里我们最小化了一个二次函数并施加了一些线性约束。
解决方法
对于凸优化问题，存在多种有效的数值算法用于寻找解决方案：

梯度下降法：适用于可微分的凸函数，通过迭代更新变量逐步逼近最优点[^3]。

牛顿法：相较于梯度下降法收敛速度更快，尤其当接近极值点时表现更佳。它依赖于二阶导数信息构建近似模型[^4]。

内点法：特别适合处理带约束的凸优化问题，能够高效找到满足所有约束条件下的最佳解[^5]。

应用领域
凸优化广泛应用于多个学科和技术领域之中，包括但不限于机器学习、信号处理以及控制理论等方面。例如，在支持向量机(SVMs)训练过程中就涉及到了大规模稀疏数据集上复杂的凸规划计算；而在图像恢复任务里也经常需要用到基于范数最小化的技术手段实现去噪效果提升等等[^6]。