量子计算迹距离matlab

### 关于量子计算中的迹距离

在量子计算领域，迹距离（Trace Distance）用于衡量两个密度矩阵之间的差异程度。该度量对于评估量子态间的相似性和区分性至关重要[^1]。

定义上，给定两个密度矩阵 \(\rho\) 和 \(\sigma\), 它们的迹距离 \(D_{tr} (\rho,\sigma)\) 可以通过下面的公式表达：

\[ D_{tr} (\rho , \sigma ) = \frac{1}{2}\text{Tr}|\rho-\sigma| \]

其中 \( |\cdot | \) 表示取绝对值操作，在此特指对差矩阵求其奇异值分解后的正部之和；而 \(\text{Tr}\) 则代表矩阵的迹运算。

为了实现在 MATLAB 中计算上述迹距离的功能，可以编写如下函数：

function d = trace_distance(rho, sigma)
    % 计算两个密度矩阵 rho 和 sigma 的迹距离
    
    diff_matrix = rho - sigma;
    [~, S, ~] = svd(diff_matrix);  % 奇异值分解得到SVD形式
    positive_part_sum = sum(abs(S));  % 对角线元素即为奇异值，对其求绝对值并相加
    d = 0.5 * positive_part_sum;      % 迹距离最终结果乘以系数1/2
end

这个简单的 MATLAB 函数实现了基于输入参数 `rho` 和 `sigma` 来返回两者之间迹距离的目的。需要注意的是这里的 `svd()` 函数用来执行奇异值分解 (Singular Value Decomposition)，从而能够方便地获取到所需的绝对值部分来进行后续处理[^2]。