编制数值积分的复合梯形算法
时间: 2024-11-10 13:12:46 浏览: 8
数值积分的复合梯形算法(Composite Trapezoidal Rule)是求解定积分的一种数值近似方法,它是基于梯形法则的扩展,通过将区间划分为多个子区间,每个子区间的函数值用直线段连接,形成一系列的梯形,然后对这些梯形的面积进行求和。这个过程相比于单次使用梯形法则(每个子区间只用两个端点的函数值计算),精度有所提高。
以下是基本步骤:
1. **定义子区间**:选择一个合适的划分次数 `n`,将积分区间 `[a, b]` 分成 `n+1` 个等宽的子区间,每个子区间的宽度为 `h = (b - a) / n`。
2. **计算梯形面积**:对于每个子区间 `[xi, xi+1]`,其面积可以通过 `(f(xi) + f(xi+1)) * h/2` 来估算,这里 `f(xi)` 和 `f(xi+1)` 是对应区间两端点的函数值。
3. **求和**:将所有子区间梯形面积相加,得到积分的近似值 `I`:`I ≈ Σ((f(xi) + f(xi+1)) * h/2)`,其中 `Σ` 表示求和。
4. **重复次数**:为了提高精度,可以增加子区间的数量 `n`,重复整个过程,新的近似值将更接近实际积分值。
5. **误差分析**:复合梯形法的误差随着子区间数目的增加而减小,但速度较其他高阶方法如辛普森法则慢。
下面是简单的C++代码实现(假设有一个函数`f(x)`):
```cpp
double compositeTrapezoidalRule(double a, double b, int n) {
double h = (b - a) / n;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (i == 0 || i == n - 1) // 首尾不用乘以1/2
sum += f(a + i * h);
else
sum += f(a + i * h) + f(a + (i + 1) * h);
}
return 0.5 * h * sum;
}
```
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