四面体体积

计算四面体体积的方法
使用顶点坐标计算四面体体积
当已知四面体四个顶点的坐标 ((x_1, y_1, z_1)), ((x_2, y_2, z_2)), ((x_3, y_3, z_3)), 和((x_4, y_4, z_4)) 时，可以利用行列式的性质来表达四面体体积 (V) 的公式：
[ V = \frac{1}{6} |det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| ]
其中向量 (\vec{AB}), (\vec{AC}), 和 (\vec{AD}) 可由给定的顶点坐标构建而成。具体来说，

向量 (\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)),
向量 (\vec{AC}=(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)),
向量 (\vec{AD}=(x_4-x_1, y_4-y_1, z_4-z_1))[^2]。

上述公式的绝对值表示取行列式的结果之后再取正值，因为体积是一个非负数。
利用二面角和面积计算四面体体积
另一种方法涉及到了几何中的概念——即通过考虑两个相邻侧面之间的夹角以及它们各自的面积来进行计算。该方法指出，如果知道两相交边形成的二面角及其对应的两侧面，则可按照下面的方式得到体积:
[ V=\frac{\sin(\theta)}{3l}(A_{i} A_{j})^{*} ]
这里 (A_i) 和 (A_j) 表示构成二面角 θ 的那两个三角形区域；(l) 是共同棱上的长度；而星号(*)代表乘法操作[^1]。
值得注意的是，在实际应用过程中可能更倾向于采用基于坐标的算法，因为它不需要额外测量角度或者侧面积，并且可以直接从三维空间内的位置数据出发完成整个运算过程。
import numpy as np

def tetrahedron_volume(x1, y1, z1,
x2, y2, z2,
x3, y3, z3,
x4, y4, z4):
matrix = [[x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1],
[x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1],
[x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1]]

det_value = abs(np.linalg.det(matrix))
volume = (1/6)*det_value

return volume
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