课堂上我们讲述了PageRank算法的原理可以用在于一步转移概率矩阵，本征值及本征空间来解释。求解可以通过如下方程组，其中X为概率向量 PX=X X各分量之个为1 请证明，该方程组有唯一解

为了证明该方程组有唯一解，我们需要证明两个条件：矩阵P是一个行可对角化矩阵；矩阵P的本征值都是正实数。

首先证明矩阵P是一个行可对角化矩阵。由于P是一个概率转移矩阵，因此它的每一行都必须满足概率和为1。因此，矩阵P的特征值必须满足|λI - P| = 0的式子中，至少有一个特征值为1。同时，我们可以发现，由于P的每一行和为1，因此P的所有特征向量的分量之和也必须为1。因此，我们可以得到下面的结论：矩阵P的特征值中必有一个为1，特征向量中必有一个分量全为1。由于这个特征向量的存在，我们可以将矩阵P进行初等行变换，使得它的最后一行都为1，从而得到一个所谓的“行最简形式”。由于初等行变换不影响矩阵的特征值和特征向量，因此矩阵P和它的行最简形式具有相同的本征值和本征向量。同时，由于行最简形式是一个对角矩阵，因此矩阵P也是一个行可对角化矩阵。

其次证明矩阵P的本征值都是正实数。考虑到P是一个概率转移矩阵，因此它的所有元素都是非负实数。根据谱半径定理，矩阵P的本征值的模长不超过其谱半径，而P的谱半径为1。因此，矩阵P的所有本征值的模长都不超过1。又由于矩阵P至少有一个本征值为1，因此其余本征值的模长都小于1。又因为矩阵P是一个实对称矩阵，因此其本征值都是实数。综上所述，矩阵P的本征值都是非负实数，且都小于1。由于矩阵P的本征值都大于等于0，因此我们可以得到下面的结论：矩阵P的本征值都是正实数。

由于矩阵P是一个行可对角化矩阵，而且其本征值都是正实数，因此我们可以得到下面的结论：该方程组有唯一解。