设计一个两轮差速机器人的传递函数

假设我们的两轮差速机器人是一个简单的模型，机器人的质量分布均匀，摩擦系数也是均匀的。我们可以针对这个模型设计一个简单的传递函数。

首先，我们可以建立两轮差速机器人的状态空间模型：
$$\begin{cases} \dot{x} = v\cos(\theta) \\ \dot{y} = v\sin(\theta) \\ \dot{\theta} = \omega \end{cases}$$
其中，$x$ 和 $y$ 分别表示机器人在平面坐标系下的位置，$\theta$ 表示机器人的朝向，$v$ 表示机器人的线速度，$\omega$ 表示机器人的角速度。

假设机器人的左右轮的转速分别为 $v_l$ 和 $v_r$，则机器人的线速度和角速度可以表示为：
$$\begin{cases} v = \frac{R}{2}(v_l+v_r) \\ \omega = \frac{R}{L}(v_r-v_l) \end{cases}$$
其中，$R$ 表示机器人的轮子半径，$L$ 表示机器人两个轮子中心之间的距离。

将 $v$ 和 $\omega$ 代入运动方程中，得到机器人的状态空间模型：
$$\begin{cases} \dot{x} = \frac{R}{2}(v_l+v_r)\cos(\theta) \\ \dot{y} = \frac{R}{2}(v_l+v_r)\sin(\theta) \\ \dot{\theta} = \frac{R}{L}(v_r-v_l) \end{cases}$$

现在我们将状态空间模型转换为传递函数形式。为了简化模型，我们假设机器人的朝向 $\theta$ 始终指向 $x$ 轴正方向。这样，我们可以将 $x$ 和 $y$ 的变化分开处理。

对于 $x$ 的变化，我们有：
$$\begin{aligned} sX(s) &= \frac{R}{2}(sV_l(s)+sV_r(s)) \\ &= \frac{R}{2}(sV_l(s)-sV_l(s)+sV_r(s)+sV_l(s)) \\ &= \frac{Rs}{2L}(V_r(s)-V_l(s)) \end{aligned}$$
其中，$X(s)$ 和 $V_l(s)$ 表示 $x$ 和 $v_l$ 的 Laplace 变换。

对于 $y$ 的变化，我们有：
$$\begin{aligned} sY(s) &= \frac{R}{2}(sV_l(s)+sV_r(s)) \\ &= \frac{R}{2}(sV_l(s)-sV_l(s)+sV_r(s)+sV_l(s)) \\ &= \frac{Rs}{2L}(V_r(s)-V_l(s)) \end{aligned}$$
其中，$Y(s)$ 和 $V_r(s)$ 表示 $y$ 和 $v_r$ 的 Laplace 变换。

因此，我们可以得到两轮差速机器人的传递函数：
$$\begin{cases} \frac{X(s)}{V_l(s)} = \frac{Rs}{2L}(1+\frac{s}{2R})^{-1} \\ \frac{Y(s)}{V_r(s)} = \frac{Rs}{2L}(1+\frac{s}{2R})^{-1} \end{cases}$$

这个传递函数可以用来设计两轮差速机器人的控制器，以达到期望的运动效果。