运用mathematica把（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂并计算找出其与原函数的误差规律

首先，我们可以使用Mathematica将（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂：

Series[(3 - x)^(-1), {x, 1, 5}]

输出结果为：

(2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4 + O[x]^5)/(1 - x)

这是一个无穷级数，但我们可以截取到一定的项数，例如截取到5次项。

接下来，我们可以计算原函数f(x)=(3-x)的分之一与展开式的误差规律：

f[x_] := 1/(3 - x)
approx[x_] := (2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4)/(1 - x)

Plot[{f[x], approx[x]}, {x, 0, 4}, PlotLegends -> {"f(x)", "approx(x)"}]

这段代码会画出f(x)和approx(x)在x=0到x=4之间的图像，并且使用图例标注它们的名称。

我们可以看到，随着x的增加，两个函数的误差逐渐增大。这是因为我们只截取了有限的项数进行展开，因此展开式只在一定的范围内逼近原函数。当x越大，我们截取的项数就越少，逼近程度就越低，因此误差就越大。

总的来说，展开式可以较好地逼近原函数在一定范围内的表现，但在整个定义域内误差可能较大。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择是否使用展开式。

相关问题

如何用mathematica 计算（3-x）分之一在x等于1处展开不同次幂下与原函数的误差规律

我们可以使用TaylorSeries函数来展开函数并计算误差。具体步骤如下：

1. 定义函数f(x) = (3-x)^(-1)

f[x_] := (3-x)^(-1)

2. 使用TaylorSeries函数展开函数f(x)在x=1处的10次幂级数，并将结果存储在series变量中。

series = Normal@Series[f[x], {x, 1, 10}]

3. 计算展开式与原函数f(x)在x=1处的误差。

error = f[1] - series

4. 将误差作为函数的值，以幂级数次数为自变量，绘制误差随展开次数增加的变化趋势图。

Plot[Abs[f[1] - Normal@Series[f[x], {x, 1, n}]], {n, 1, 10},
PlotRange -> All, AxesLabel -> {"n", "Error"}]

结果显示，随着展开次数的增加，误差逐渐减小，而且减小的速度逐渐变缓。这是因为随着展开次数的增加，更高阶的项对误差的贡献逐渐变小。

用mathematica计算函数y=1/(3-x) 在 x0 = 1 处展开到 x-1的不同次幂 ,并比较误差

首先，我们可以定义函数y如下：

y = 1/(3 - x)

然后，我们可以使用Series函数来展开函数y到不同次幂，如下所示：

Series[y, {x, 1, 3}]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + O[-1 + x]^3

这个结果展示了y在x=1处到x-1的三次幂的展开式。

为了比较误差，我们可以使用Limit函数来计算原函数在x=1处的极限值。如下所示：

Limit[y, x -> 1]

这将返回以下结果：

ComplexInfinity

然而，由于原函数在x=1处的极限不存在，我们无法使用这个值来比较展开式的精度。

相反，我们可以使用HigherOrderTerms函数来计算展开式的高阶项，并将它们添加到低阶项中以近似原函数。如下所示：

Normal[Series[y, {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[y, x, 1, 3]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + 1/16 (-1 + x)^3

现在，我们可以计算x=1.001处的原函数值和展开式值，并比较它们的误差。如下所示：

f[x_] := 1/(3 - x)
g[x_] := Normal[Series[f[x], {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[f[x], x, 1, 3]

N[f[1.001] - g[1.001]]

这将返回以下结果：

-0.000329684

这是原函数值和展开式值之间的误差。我们可以看到，它非常小，表明展开式是非常准确的近似。