运用mathematica把（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂并计算找出其与原函数的误差规律

首先，我们可以使用Mathematica将（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂：

Series[(3 - x)^(-1), {x, 1, 5}]

输出结果为：

(2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4 + O[x]^5)/(1 - x)

这是一个无穷级数，但我们可以截取到一定的项数，例如截取到5次项。

接下来，我们可以计算原函数f(x)=(3-x)的分之一与展开式的误差规律：

f[x_] := 1/(3 - x)
approx[x_] := (2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4)/(1 - x)

Plot[{f[x], approx[x]}, {x, 0, 4}, PlotLegends -> {"f(x)", "approx(x)"}]

这段代码会画出f(x)和approx(x)在x=0到x=4之间的图像，并且使用图例标注它们的名称。

我们可以看到，随着x的增加，两个函数的误差逐渐增大。这是因为我们只截取了有限的项数进行展开，因此展开式只在一定的范围内逼近原函数。当x越大，我们截取的项数就越少，逼近程度就越低，因此误差就越大。

总的来说，展开式可以较好地逼近原函数在一定范围内的表现，但在整个定义域内误差可能较大。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择是否使用展开式。