k-means算法公式原理

k-means算法是一种常见的无监督学习算法，用于将数据集划分为k个簇。其基本原理如下：

1. 随机选择k个初始质心，每个质心代表一个簇。

2. 将每个样本点分配给距离它最近的质心所代表的簇，形成k个簇。

3. 对于每个簇，重新计算质心，即将簇内所有点的均值作为新的质心。

4. 重复步骤2和3，直到质心不再发生变化，或达到预设的迭代次数。

k-means算法的核心在于簇内平均误差最小化（SSE，Sum of Squared Errors），即最小化每个样本点与它所属簇的质心之间的距离平方和。其数学公式如下：

$$
SSE=\sum_{i=1}^{k}\sum_{\boldsymbol{x}\in C_i}\left\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu_i}\right\|^2
$$

其中，$k$为簇的个数，$C_i$为第$i$个簇中所有样本组成的集合，$\boldsymbol{\mu_i}$为第$i$个簇的质心。

k-means算法的时间复杂度为$O(kn)$，其中$n$为样本数量。由于k-means算法对初始质心的选择敏感，因此常常使用k-means++算法来初始化质心，以提高聚类效果。

相关问题

k-means++算法公式原理

k-means++算法是一种改进的k-means聚类算法，它通过改变初始质心的选择方式，避免了传统k-means聚类算法对初始质心敏感的问题。

k-means++算法的质心初始化过程如下：

1. 随机选择一个样本作为第一个质心。

2. 对于每个样本$x_i$，计算它与已经选取的质心之间的最短距离$d(x_i)^2$。

3. 选择一个新的质心，使得它被选作新的质心的概率与它与已有质心的最短距离$d(x_i)^2$成正比。

4. 重复步骤2和3，直到选取k个质心。

k-means++算法的核心在于第3步的随机选择，它保证了新的质心距离已有质心的距离更远，从而能够更好地代表不同的簇。此外，k-means++算法的时间复杂度和传统k-means算法相同，都是O(kn)。

k-means算法成本函数

k-means算法的成本函数是指每个数据点到其所属聚类中心的距离的平方和，也被称为失真函数J。具体来说，对于每个数据点i，其所属聚类中心为ci，成本函数J的计算公式为：

J = Σ ||xi - ci||^2

其中，xi表示第i个数据点的坐标，ci表示第i个数据点所属的聚类中心的坐标。算法的目标是通过迭代优化聚类中心的位置，使得成本函数J最小化，从而得到最优的聚类结果。
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [【机器学习】聚类算法中的 K-means 算法及其原理](https://blog.csdn.net/m0_51816252/article/details/126115206)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insertT0,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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