四阶Hermite 多项式3维函数回归预测 matlab示例

下面是一个用于四阶Hermite多项式3维函数回归预测的MATLAB示例：

假设我们有一组数据点(x,y,z)和对应的目标值f(x,y,z)，我们希望使用四阶Hermite多项式来拟合这些数据并进行预测。首先，我们需要定义Hermite多项式：

function H = hermite(n,x)
% 返回n次Hermite多项式在x处的值
if n==0
H = ones(size(x));
elseif n==1
H = 2*x;
else
H = 2*x.*hermite(n-1,x) - 2*(n-1)*hermite(n-2,x);
end

接下来，我们需要创建一个函数来计算四阶Hermite多项式3维函数回归预测的系数：

function beta = hermite_regression(x,y,z,f)
% 计算四阶Hermite多项式系数
n = length(x);
H = [ones(n,1), x, y, z, ...
x.^2, y.^2, z.^2, ...
x.*y, x.*z, y.*z, ...
hermite(4,x), hermite(4,y), hermite(4,z), ...
x.*hermite(3,x), y.*hermite(3,y), z.*hermite(3,z), ...
hermite(3,x).*hermite(3,y), hermite(3,x).*hermite(3,z), hermite(3,y).*hermite(3,z), ...
hermite(2,x).*hermite(2,y), hermite(2,x).*hermite(2,z), hermite(2,y).*hermite(2,z)];
beta = pinv(H'*H)*H'*f;

现在我们可以使用这些代码来进行预测。假设我们有一组测试点，我们可以使用以下代码来预测它们的目标值：

% 测试数据
x_test = [1, 2, 3]';
y_test = [4, 5, 6]';
z_test = [7, 8, 9]';
% 预测
f_test = beta(1) + beta(2)*x_test + beta(3)*y_test + beta(4)*z_test + ...
beta(5)*x_test.^2 + beta(6)*y_test.^2 + beta(7)*z_test.^2 + ...
beta(8)*x_test.*y_test + beta(9)*x_test.*z_test + beta(10)*y_test.*z_test + ...
beta(11)*hermite(4,x_test) + beta(12)*hermite(4,y_test) + beta(13)*hermite(4,z_test) + ...
beta(14)*x_test.*hermite(3,x_test) + beta(15)*y_test.*hermite(3,y_test) + beta(16)*z_test.*hermite(3,z_test) + ...
beta(17)*hermite(3,x_test).*hermite(3,y_test) + beta(18)*hermite(3,x_test).*hermite(3,z_test) + beta(19)*hermite(3,y_test).*hermite(3,z_test) + ...
beta(20)*hermite(2,x_test).*hermite(2,y_test) + beta(21)*hermite(2,x_test).*hermite(2,z_test) + beta(22)*hermite(2,y_test).*hermite(2,z_test);

最后，我们可以使用预测结果来绘制一个3D图形：

% 绘制3D图形
[X,Y,Z] = meshgrid(1:0.1:3,4:0.1:6,7:0.1:9);
F = beta(1) + beta(2)*X + beta(3)*Y + beta(4)*Z + ...
beta(5)*X.^2 + beta(6)*Y.^2 + beta(7)*Z.^2 + ...
beta(8)*X.*Y + beta(9)*X.*Z + beta(10)*Y.*Z + ...
beta(11)*hermite(4,X) + beta(12)*hermite(4,Y) + beta(13)*hermite(4,Z) + ...
beta(14)*X.*hermite(3,X) + beta(15)*Y.*hermite(3,Y) + beta(16)*Z.*hermite(3,Z) + ...
beta(17)*hermite(3,X).*hermite(3,Y) + beta(18)*hermite(3,X).*hermite(3,Z) + beta(19)*hermite(3,Y).*hermite(3,Z) + ...
beta(20)*hermite(2,X).*hermite(2,Y) + beta(21)*hermite(2,X).*hermite(2,Z) + beta(22)*hermite(2,Y).*hermite(2,Z);
figure;
scatter3(x,y,z,f,'filled','MarkerFaceAlpha',0.5,'MarkerEdgeAlpha',0.5);
hold on;
surf(X,Y,Z,F,'FaceAlpha',0.3);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
view(40,35);
grid on;
colorbar;
title('四阶Hermite多项式3维函数回归预测');