这两个向量的叉积难道不是曲线的切向量吗

不是的，这两个向量的叉积得到的是曲线在该点处的法向量，而不是切向量。具体来说，如果将 F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0 看作是一个曲面，那么曲线就是曲面与一个平面的交线。在某个点上，曲线的切向量与曲面在该点处的法向量垂直，因此曲线在该点处的主法向量可以通过求曲面在该点处的法向量来得到。

具体地，对于曲面 F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0，它们在点 (x0,y0,z0) 的法向量分别为：

(Fx(x0,y0,z0), Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0)) 和 (Gx(x0,y0,z0), Gy(x0,y0,z0), Gz(x0,y0,z0))

而这两个向量的叉积，则为曲面在该点处的法向量，即：

(Fy(x0,z0) * Gz(x0,y0,z0) - Fz(x0,y0,z0) * Gy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0) * Gx(x0,y0,z0) - Fx(x0,y0,z0) * Gz(x0,y0,z0), Fx(x0,y0,z0) * Gy(x0,y0,z0) - Fy(x0,y0,z0) * Gx(x0,y0,z0))

对这个向量进行归一化，就可以得到曲线在该点处的主法向量。

相关问题

已知空间曲线的隐式表达式F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0, 首先要明确这个曲线是无法转成参数方程形式的，因为这两个隐函数次数太高了。就在这两个隐函数式的基础上，如何求出曲线在某点的密切平面？（提示，可以通过计算曲线在该点的法向量和切向量来求）

对于这种情况，我们可以通过计算曲线在该点的法向量和切向量来求出曲线在该点的密切平面。具体来说，可以采用以下步骤：

1. 在点 (x0,y0,z0) 处计算曲线的切向量，即求出 F(x,y,z) 和 G(x,y,z) 在该点处的偏导数向量：

(Fx(x0,y0,z0), Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0)) 和 (Gx(x0,y0,z0), Gy(x0,y0,z0), Gz(x0,y0,z0))

2. 将这两个向量的叉积求出来，得到曲线在该点处的法向量：

(Fy(x0,z0) * Gz(x0,y0,z0) - Fz(x0,y0,z0) * Gy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0) * Gx(x0,y0,z0) - Fx(x0,y0,z0) * Gz(x0,y0,z0), Fx(x0,y0,z0) * Gy(x0,y0,z0) - Fy(x0,y0,z0) * Gx(x0,y0,z0))

3. 对法向量进行归一化，即可得到曲线在该点处的单位法向量。

4. 在点 (x0,y0,z0) 处，将切向量和法向量组成一个正交基，即可得到曲线在该点处的切平面和法平面。具体来说，可以将切向量和法向量分别除以它们的长度，然后进行 Gram-Schmidt 正交化，即可得到一个正交基。这个正交基的第一个向量就是切向量的单位向量，第二个向量就是法向量的单位向量，两个向量组成的平面就是曲线在该点处的切平面和法平面。

需要注意的是，在计算曲线的偏导数向量时，需要使用偏导数公式，对每个变量分别求偏导数。同时，在计算过程中，如果出现了分母为零的情况，说明曲线在该点处没有切平面和法平面。

高等数学里面，法向量与切向量的关系

在高等数学中，法向量和切向量是向量的两个概念，通常用于描述曲线或曲面的性质。

对于曲线上的某一点，切向量是指该点切线方向的向量，它与曲线在该点处的切线平行。而法向量则是指与切向量垂直的向量，通常用于描述曲线在该点处的曲率或者曲线所在平面的法向量。

对于曲面上的某一点，切向量是指该点所在曲面的切平面内的向量，它与曲面在该点处的切平面平行。而法向量则是指与切向量垂直的向量，它垂直于该点所在曲面。

因此，法向量与切向量的关系可以用向量叉积来表示。对于曲线上的某一点，曲线的法向量等于该点切向量在曲线平面内的法向量；对于曲面上的某一点，曲面的法向量等于该点切向量的叉积。