已知X的概率密度函数，怎么求cosX的概率密度函数

设 $f_X(x)$ 是 $X$ 的概率密度函数，$Y=\cos(X)$，我们需要求 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$。

对于任意 $y\in[-1,1]$，有：

$$
\begin{aligned}
F_Y(y) &= P(Y\leq y) \\
&= P(\cos(X)\leq y) \\
&= P(X\in[\arccos(y)+2k\pi,-\arccos(y)+2k\pi]) \quad (k\in\mathbb{Z}) \\
&= \int_{\arccos(y)+2k\pi}^{-\arccos(y)+2k\pi} f_X(x)\,dx \quad (k\in\mathbb{Z})
\end{aligned}
$$

因此，$Y$ 的概率密度函数为：

$$
\begin{aligned}
f_Y(y) &= \frac{d}{dy}F_Y(y) \\
&= \frac{d}{dy}\int_{\arccos(y)}^{-\arccos(y)}f_X(x)\,dx \\
&= \frac{d}{dy}\left[\int_{-\infty}^{\arccos(y)}f_X(x)\,dx - \int_{-\infty}^{-\arccos(y)}f_X(x)\,dx\right] \\
&= -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\left[f_X(\arccos(y)) + f_X(-\arccos(y))\right]
\end{aligned}
$$

其中，$-1\leq y\leq 1$。需要注意的是，$f_X(x)$ 需要在 $\arccos(y)$ 和 $-\arccos(y)$ 处都存在，否则 $f_Y(y)$ 的值为无穷大。