证明无向图的哈密顿回路问题多项式时间规约到有向图的哈密顿回路问题

假设我们有一个无向图 $G=(V,E)$，我们要证明如何将求解其哈密顿回路问题规约到有向图的哈密顿回路问题。

首先，我们可以将无向图 G 转化为有向图 $G'=(V,E')$。对于无向图 G 中的每个边 $(u,v)$，我们可以将其替换为两条有向边 $(u,v)$ 和 $(v,u)$，即 $E' = \{(u,v),(v,u) \mid (u,v) \in E\}$。这样得到的有向图 G' 中，对于每个顶点 v，它的入度和出度都是 2.

接下来，我们将有向图 $G'=(V,E')$ 转化为有向图 $G''=(V',E'')$。对于每个顶点 v，我们在 G'' 中添加两个新的顶点 $v_{in}$ 和 $v_{out}$，并将原来指向 v 的边 $(u,v)$ 改为从 $u_{out}$ 指向 $v_{in}$，将原来从 v 出发的边 $(v,w)$ 改为从 $v_{out}$ 指向 $w_{in}$。即 $E''=\{(u_{out},v_{in}),(v_{out},w_{in}) \mid (u,v),(v,w) \in E'\}$。 对于每个顶点 v，我们可以看做是一个入度为 1，出度为 1 的点，即 $v_{in}$ 的出度为 1，$v_{out}$ 的入度为 1，这样得到的有向图 G'' 中，对于每个顶点 v，它的入度和出度都是 1.

现在我们考虑如何找到有向图 G'' 的哈密顿回路。我们可以使用 Bellman-Ford 算法来检测是否存在负权环。如果存在负权环，则 G'' 中不存在哈密顿回路。否则，我们可以使用拓扑排序来找到 G'' 的拓扑序列。由于 G'' 中每个顶点的入度和出度都是 1，因此拓扑序列中只有一条路径可以穿过每个顶点。我们可以将该路径沿用到原图 G 中，即得到了 G 的哈密顿回路。

总之，我们可以通过上述转化将无向图的哈密顿回路问题规约到有向图的哈密顿回路问题，因此无向图的哈密顿回路问题多项式时间规约到有向图的哈密顿回路问题。