向上递归函数，向下递归函数

递归是一种在函数中调用自身的编程技巧。可以通过向上递归和向下递归来描述递归函数的两种不同应用方式。

1. 向上递归函数（Top-down Recursion）：
向上递归是指在递归函数中先处理当前问题，然后再逐步向上解决更大规模的问题，直到达到递归终止条件。这种方式通常使用递归函数的参数来传递问题的状态或规模。

例如，计算一个正整数的阶乘可以使用向上递归实现：

   def factorial(n):
       if n == 0:
           return 1
       else:
           return n * factorial(n-1)

在上述示例中，函数首先检查终止条件（n == 0），如果满足则返回结果 1。否则，它会调用自身并将问题规模减小（n-1），直到达到终止条件。

2. 向下递归函数（Bottom-up Recursion）：
向下递归是指在递归函数中先解决更大规模的问题，然后再逐步向下解决子问题，直到达到递归终止条件。这种方式通常使用递归函数的返回值来合并子问题的解决结果。

例如，计算一个正整数的斐波那契数列可以使用向下递归实现：

   def fibonacci(n):
       if n <= 1:
           return n
       else:
           return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

在上述示例中，函数首先检查终止条件（n <= 1），如果满足则返回当前值。否则，它会调用自身并将问题分解为两个较小的子问题（n-1 和 n-2），然后将子问题的解决结果相加。

无论是向上递归还是向下递归，都需要确保递归终止条件的正确性，以避免无限递归导致栈溢出或死循环。同时，递归函数的性能也需要考虑，因为递归调用可能会导致额外的函数调用和堆栈操作。