高斯型求积公式 勒让德、拉盖尔、切比雪夫

时间: 2023-08-05 20:06:36 浏览: 67
高斯型求积公式是一种数值积分方法,它利用预先计算好的节点和权重,将被积函数在一定区间上进行多项式逼近,从而得到数值积分结果。 其中,勒让德-高斯型求积公式是在区间[-1,1]上进行积分的,节点为勒让德多项式的零点,权重为1/(n+1)^2,其中n为多项式的次数。拉盖尔-高斯型求积公式和切比雪夫-高斯型求积公式也是类似的,分别在区间[0,∞)和[-1,1]上进行积分,节点和权重的计算方法也不同。
相关问题

复化高斯型求积公式的原理

复化高斯型求积公式的原理是利用高斯-勒让德多项式的零点和权值来近似计算积分值。高斯-勒让德多项式是一类特殊的正交多项式,其零点和权值具有一定的规律性,可以用来构造数值积分公式。 具体来说,我们将积分区间$[a,b]$等分成$m$个小区间,然后在每个小区间上应用高斯-勒让德多项式的根和权值来进行积分的近似计算。这样得到的结果是对每个小区间上的积分值的加权平均,从而近似得到整个区间上的积分值。 随着高斯-勒让德多项式的次数$n$的增加,我们可以得到更高精度的近似积分值。但是,随着$n$的增加,计算量也会增加,因此需要权衡精度和计算效率的问题。

高斯-勒让德求积公式的python实现

以下是使用 Python 实现 Gauss-Legendre 求积公式的代码示例: ```python import numpy as np def gauss_legendre(f, a, b, n): # 计算积分区间 [-1, 1] 上的节点和权重 x, w = np.polynomial.legendre.leggauss(n) # 将积分区间 [a, b] 映射到 [-1, 1] y = 0.5 * (b - a) * x + 0.5 * (a + b) # 计算被积函数在节点处的取值 fx = f(y) # 计算积分近似值 result = np.dot(w, fx) * 0.5 * (b - a) return result ``` 其中,`f` 是被积函数,`a` 和 `b` 是积分区间的端点,`n` 是插值节点数。函数内部使用 `numpy.polynomial.legendre.leggauss` 函数计算积分区间 `[-1, 1]` 上的节点和权重,然后将其映射到积分区间 `[a, b]` 上。最后,计算被积函数在节点处的取值,然后使用节点和权重的加权和来计算积分近似值。 例如,要求解在积分区间 `[0, 1]` 上的函数 $f(x) = x^2$ 的积分近似值,可以使用以下代码: ```python def f(x): return x**2 result = gauss_legendre(f, 0, 1, 10) print(result) ``` 其中,`n=10` 表示使用 10 个节点进行插值。运行结果为: ``` 0.3333333333333333 ``` 表示积分近似值为 $1/3$,与精确值 $1/3$ 相等。

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