量子力学中三维阱的函数表达式

在量子力学中，三维阱的函数表达式通常被称为阱能级函数。对于一个带有质量 $m$ 的粒子，在三维阱中的能级函数可以表示为：

$$\psi(x,y,z)=\sum_{n_x,n_y,n_z}c_{n_x,n_y,n_z}\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y)\phi_{n_z}(z)$$

其中，$\phi_{n_x}(x)$、$\phi_{n_y}(y)$ 和 $\phi_{n_z}(z)$ 分别是在 $x$、$y$ 和 $z$ 轴方向上的基态函数，$n_x$、$n_y$ 和 $n_z$ 分别是 $x$、$y$ 和 $z$ 轴方向上的状态数，$c_{n_x,n_y,n_z}$ 是系数。

在这个函数中，基态函数是指在三维阱中达到最低能级的函数。这些基态函数可以通过解决下列边界条件问题得到：

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x,y,z)\right]\phi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=E_{n_x,n_y,n_z}\phi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)$$

其中，$\nabla^2$ 是三维拉普拉斯算子，$V(x,y,z)$ 是三维阱的电势函数，$E_{n_x,n_y,n_z}$ 是能级。

通常情况下，基态函数是正交的，即对于不同的 $n_x$、$n_y$ 和 $n_z$，基态函数之间满足：

$$\int_{-\infty}^{\infty}\phi_{n_x