[Matlab科学计算] 有限元法求二阶非齐次线性微分方程

有限元法求解二阶非齐次线性微分方程的基本步骤如下：

1. 将微分方程化为标准形式：

$$
\frac{d^2u}{dx^2} + p(x)\frac{du}{dx} + q(x)u = f(x)
$$

其中，$p(x)$、$q(x)$ 和 $f(x)$ 分别为已知的函数，$u$ 是待求解的函数。

2. 将求解区间 $[a,b]$ 分成 $N$ 个小区间，每个小区间内取一个节点，构建有限元网格。

3. 在每个小区间内选取一组基函数，通常选择线性基函数或二次基函数。

4. 将待求解的函数 $u$ 用基函数展开，得到：

$$
u(x) = \sum_{i=1}^{N} u_i \phi_i(x)
$$

其中，$u_i$ 是节点处的未知量，$\phi_i(x)$ 是基函数。

5. 将微分方程离散化，得到：

$$
\sum_{i=1}^{N} \left( \frac{d^2\phi_i}{dx^2} + p(x)\frac{d\phi_i}{dx} + q(x)\phi_i \right) u_i = f(x)
$$

6. 将上式写成矩阵形式，得到：

$$
\mathbf{Ku} = \mathbf{f}
$$

其中，$\mathbf{K}$ 是刚度矩阵，$\mathbf{u}$ 是节点处的未知量向量，$\mathbf{f}$ 是载荷向量。

7. 解线性方程组，得到节点处的未知量 $u_i$，从而得到待求解的函数 $u(x)$。

以上就是有限元法求解二阶非齐次线性微分方程的基本步骤。在 Matlab 中，可以使用 PDE 工具箱来实现有限元法求解。