[Matlab科学计算] 有限元法求二阶非齐次线性微分方程

有限元法求解二阶非齐次线性微分方程的基本步骤如下：

1. 将微分方程化为标准形式：

$$
\frac{d^2u}{dx^2} + p(x)\frac{du}{dx} + q(x)u = f(x)
$$

其中，$p(x)$、$q(x)$ 和 $f(x)$ 分别为已知的函数，$u$ 是待求解的函数。

2. 将求解区间 $[a,b]$ 分成 $N$ 个小区间，每个小区间内取一个节点，构建有限元网格。

3. 在每个小区间内选取一组基函数，通常选择线性基函数或二次基函数。

4. 将待求解的函数 $u$ 用基函数展开，得到：

$$
u(x) = \sum_{i=1}^{N} u_i \phi_i(x)
$$

其中，$u_i$ 是节点处的未知量，$\phi_i(x)$ 是基函数。

5. 将微分方程离散化，得到：

$$
\sum_{i=1}^{N} \left( \frac{d^2\phi_i}{dx^2} + p(x)\frac{d\phi_i}{dx} + q(x)\phi_i \right) u_i = f(x)
$$

6. 将上式写成矩阵形式，得到：

$$
\mathbf{Ku} = \mathbf{f}
$$

其中，$\mathbf{K}$ 是刚度矩阵，$\mathbf{u}$ 是节点处的未知量向量，$\mathbf{f}$ 是载荷向量。

7. 解线性方程组，得到节点处的未知量 $u_i$，从而得到待求解的函数 $u(x)$。

以上就是有限元法求解二阶非齐次线性微分方程的基本步骤。在 Matlab 中，可以使用 PDE 工具箱来实现有限元法求解。

相关问题

[Matlab科学计算] 有限元法求二阶非齐次线性微分方程源代码

以下是用有限元法求解二阶非齐次线性微分方程的 Matlab 源代码：

clc;
clear all;
close all;

% 定义常数和参数
L = 1;
n = 10;
h = L/n;
x = linspace(0,L,n+1);

% 定义系数矩阵
A = [1/h^2 + 1/2, -2/h^2, 1/h^2 - 1/2;
    1/h, 0, -1/h;
    1/2, -1, 1/2];

% 定义右端项的函数
f = @(x) sin(pi*x);

% 定义边界条件
u0 = 0;
uL = 0;

% 初始化向量和矩阵
F = zeros(n-1,1);
U = zeros(n+1,1);

% 计算右端项
for i=1:n-1
    F(i) = integral(@(x)(A(3,1)*sin(pi*x)+A(3,2)*cos(pi*x)+A(3,3)*f(x)).*((x>=x(i)&x<x(i+1)).*x-x(i))./h, x(i), x(i+1));
end

% 处理边界条件
F(1) = F(1) - u0*A(2,1);
F(n-1) = F(n-1) - uL*A(2,3);

% 解线性方程组
U(2:n) = A(1,1)\F;

% 处理边界条件
U(1) = u0;
U(n+1) = uL;

% 输出结果
plot(x,U,'-o');
xlabel('x');
ylabel('u(x)');
title('Finite Element Method Solution of a Linear Differential Equation');

这个程序的输出是一个图像，其中显示了通过有限元法求解的微分方程的近似解。

[Matlab科学计算] 有限元法求二阶常系数非齐次线性微分方程y′′ + Py' + Qy = f(x)源代码

以下是用有限元法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的Matlab源代码：

% 输入参数
a = 0; % 区间左端点
b = 1; % 区间右端点
n = 10; % 离散节点数
P = 1; % 常数项P
Q = 1; % 常数项Q
f = @(x) cos(x); % 非齐次项f(x)

% 计算初始参数
h = (b-a)/n; % 步长
x = linspace(a,b,n+1)'; % 离散节点
A = zeros(n-1); % 系数矩阵
F = zeros(n-1,1); % 右端向量

% 组装系数矩阵和右端向量
for i = 1:n-1
    A(i,i) = -2/h^2 + P/(2*h);
    A(i,i+1) = 1/h^2 - P/(2*h);
    A(i+1,i) = 1/h^2 + P/(2*h);
    F(i) = f(x(i+1));
end
F(1) = F(1) - (1/h^2 - P/(2*h))*y(a+h); % 边界条件
F(n-1) = F(n-1) - (1/h^2 + P/(2*h))*y(b-h); % 边界条件

% 解线性方程组
Y = A\F;

% 计算数值解
y = [0; Y; 0];
x = linspace(a,b,n+1)';
for i = 2:n
    y(i) = y(i) + y(i-1)/(2*h) - f(x(i))*h^2/2 - Q*y(i)*h^2/2;
end

% 绘制图像
plot(x,y)
xlabel('x')
ylabel('y')
title('有限元法求解二阶常系数非齐次线性微分方程')

其中，我们通过输入参数a、b、n、P、Q和f(x)来确定微分方程的相关参数，然后计算出离散节点的位置和系数矩阵、右端向量等参数，最后通过解线性方程组得到数值解y，并绘制出其图像。