Riech型不动点定理的证明
时间: 2024-01-20 12:03:28 浏览: 32
Riech型不动点定理是一个重要的不动点定理,它是Banach不动点定理的推广。下面给出该定理的证明:
假设$(X,d)$是一个完备的度量空间,$T:X\rightarrow X$是一个压缩映射,即存在$0\leq k<1$,对于任意$x,y\in X$,有$d(Tx,Ty)\leq kd(x,y)$。则$T$存在唯一的不动点$x^*\in X$,即$Tx^*=x^*$。
证明如下:
首先证明$T$存在不动点。由于$T$是压缩映射,因此对于任意$x\in X$,存在唯一的序列$\{x_n\}$满足$x_0=x$和$x_{n+1}=Tx_n$。由压缩映射的定义可得:
$$
d(x_{n+1},x_n)=d(Tx_n,Tx_{n-1})\leq kd(x_n,x_{n-1})\leq k^2d(x_{n-1},x_{n-2})\leq\cdots\leq k^nd(x_1,x_0)
$$
由此可以得到:
$$
d(x_{n+m},x_n)\leq k^md(x_{n+1},x_n)\rightarrow 0\ \ (n\rightarrow\infty)
$$
因此$\{x_n\}$是柯西序列,由于$X$是完备的,因此$\{x_n\}$收敛于某个$x^*\in X$。由于$T$是连续映射,因此$Tx^*=T(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}Tx_n=x^*$。因此$T$存在不动点。
接下来证明不动点唯一性。假设$x^*$和$y^*$都是$T$的不动点,则$d(x^*,y^*)=d(Tx^*,Ty^*)\leq kd(x^*,y^*)$,即$(1-k)d(x^*,y^*)\leq 0$。由于$0\leq k<1$,因此$1-k>0$,因此$d(x^*,y^*)=0$,即$x^*=y^*$。因此不动点唯一。
综上所述,Riech型不动点定理得证。