mathematica中如何将一个第一类贝塞尔函数表示为两个已知的第一类贝塞尔函数的线性组合

设 $J_n(x)$ 是第一类贝塞尔函数，$a$ 和 $b$ 是两个已知的实数，且 $n \geq 1$，则可以将 $J_n(x)$ 表示为 $J_{n-1}(x)$ 和 $J_{n+1}(x)$ 的线性组合，即：

$J_n(x) = a J_{n-1}(x) + b J_{n+1}(x)$

其中，

$a = \frac{x J_n(x) - J_{n+1}(x)}{x J_{n-1}(x) - J_n(x)}$

$b = \frac{x J_n(x) - J_{n-1}(x)}{x J_{n+1}(x) - J_n(x)}$

这是一个标准的贝塞尔函数递推关系式，也可以用于求解其他贝塞尔函数的线性组合。

相关问题

mathematica中如何将一个第一类贝塞尔函数由两个已知的第一类贝塞尔函数表示

设要求的第一类贝塞尔函数为$J_n(x)$，已知的两个第一类贝塞尔函数为$J_{n-1}(x)$和$J_{n+1}(x)$，则可以利用如下公式将$J_n(x)$表示为$J_{n-1}(x)$和$J_{n+1}(x)$的线性组合：

$$J_n(x) = \frac{2n}{x}J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x)$$

其中$n$为整数。这个公式可以从贝塞尔函数的递推关系式推导出来。

mathematica中如何将一个第一类贝塞尔函数有两个已知的第一类贝塞尔函数表示

如果你想将一个第一类贝塞尔函数 $J_n(x)$ 表示为两个已知的第一类贝塞尔函数 $J_m(x)$ 和 $J_{m+k}(x)$ 的线性组合，可以使用以下公式：

$$J_n(x) = \frac{(x/2)^n}{n!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+m+k)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left[(n+m+k)J_{n+m+k}(x)-J_{n+m+k-1}(x)\right]$$

其中 $m$ 和 $k$ 是任意整数。注意，当 $k=0$ 时，$J_{n+m+k-1}(x)$ 应被解释为 $J_{n+m-1}(x)$。这个公式被称为 Ferrers 公式。