假设各类别协方差矩阵相等，推导马氏距离分类器。 用马氏距离法进行TM图像监督分类，并给出分类结果评价 （用混淆矩阵），基本要求：训练样区的选择可以用其他软件 如ENVI来实现，TM用1,2,3,4,5,7这六个波段，图像格式自己定 义。数据量不作要求，结果用专题图的形式表示（用不同色斑 表示不同地物类别），用ENVI自带的例子数据，类别数量4类。 提高要求：训练样区自己选择，数据量可以任意，数据类型可 以任意（也就是波段数量可变），开发一个实用的马氏距离分 类器。请给出具体的Python代码

马氏距离分类器

假设各类别协方差矩阵相等，那么马氏距离分类器的决策规则为：

$D_i = (\mathbf{x}-\mathbf{m}_i)^T\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{m}_i)$

其中，$D_i$ 表示样本 $\mathbf{x}$ 属于第 $i$ 类的马氏距离，$\mathbf{m}_i$ 表示第 $i$ 类样本的均值向量，$\Sigma$ 表示各类别协方差矩阵的平均。

最终，将样本 $\mathbf{x}$ 分类为使 $D_i$ 最小的 $i$。

TM图像监督分类

以 TM5遥感影像为例进行分类，使用 ENVI 软件选择训练样区，选择4种类别：水体、森林、农田和城镇建筑。

首先，读取影像数据并进行预处理：

import numpy as np
import spectral

# 读取影像数据
img = spectral.open_image('tm5.hdr')
data = img.load()
rows, cols, bands = img.shape

# 数据预处理
data = np.reshape(data, (rows*cols, bands))
data[np.isnan(data)] = 0
data = spectral.transforms.rescale(data, (0, 1))

接下来，选择训练样区并计算各类别的均值向量和协方差矩阵：

# 选择训练样区
train_img = spectral.open_image('train.hdr')
train_data = train_img.load()
train_rows, train_cols, train_bands = train_img.shape
train_data = np.reshape(train_data, (train_rows*train_cols, train_bands))

# 计算均值向量和协方差矩阵
mean_vectors = []
cov_matrix = np.zeros((bands, bands))
for i in range(4):
    class_data = train_data[train_data[:, -1] == i+1, :-1]
    mean_vectors.append(np.mean(class_data, axis=0))
    cov_matrix += np.cov(class_data.T)
cov_matrix /= 4

最后，使用马氏距离分类器对整个影像进行分类，并将分类结果保存为专题图：

# 马氏距离分类器
result = np.zeros((rows*cols,))
for i in range(rows*cols):
    distances = []
    for j in range(4):
        distance = np.dot(data[i]-mean_vectors[j], np.linalg.inv(cov_matrix))
        distance = np.dot(distance, (data[i]-mean_vectors[j]).T)
        distances.append(distance)
    result[i] = np.argmin(distances) + 1

# 保存专题图
result = np.reshape(result, (rows, cols))
spectral.save_rgb('result.jpg', result, (3, 2, 1))

混淆矩阵用于评价分类结果，可以使用 sklearn 库中的 confusion_matrix 方法进行计算：

from sklearn.metrics import confusion_matrix

# 计算混淆矩阵
true_labels = np.reshape(img[:,:,6], (rows*cols,))
confusion = confusion_matrix(true_labels, result)
print(confusion)

完整代码：

import numpy as np
import spectral
from sklearn.metrics import confusion_matrix

# 读取影像数据
img = spectral.open_image('tm5.hdr')
data = img.load()
rows, cols, bands = img.shape

# 数据预处理
data = np.reshape(data, (rows*cols, bands))
data[np.isnan(data)] = 0
data = spectral.transforms.rescale(data, (0, 1))

# 选择训练样区
train_img = spectral.open_image('train.hdr')
train_data = train_img.load()
train_rows, train_cols, train_bands = train_img.shape
train_data = np.reshape(train_data, (train_rows*train_cols, train_bands))

# 计算均值向量和协方差矩阵
mean_vectors = []
cov_matrix = np.zeros((bands, bands))
for i in range(4):
    class_data = train_data[train_data[:, -1] == i+1, :-1]
    mean_vectors.append(np.mean(class_data, axis=0))
    cov_matrix += np.cov(class_data.T)
cov_matrix /= 4

# 马氏距离分类器
result = np.zeros((rows*cols,))
for i in range(rows*cols):
    distances = []
    for j in range(4):
        distance = np.dot(data[i]-mean_vectors[j], np.linalg.inv(cov_matrix))
        distance = np.dot(distance, (data[i]-mean_vectors[j]).T)
        distances.append(distance)
    result[i] = np.argmin(distances) + 1

# 计算混淆矩阵
true_labels = np.reshape(img[:,:,6], (rows*cols,))
confusion = confusion_matrix(true_labels, result)
print(confusion)

# 保存专题图
result = np.reshape(result, (rows, cols))
spectral.save_rgb('result.jpg', result, (3, 2, 1))