如何计算出cubic-bezier曲线上曲率大的点

计算cubic-bezier曲线上曲率大的点可以使用数学公式。具体来说，可以使用曲率公式：k = (x'y'' - y'x'') / (x'^2 + y'^2)^(3/2)。

其中，x、y为曲线上的点，x'、y'为该点的一阶导数，x''、y''为该点的二阶导数。

这个公式计算出来的值叫做曲率半径(curvature radius), 曲率大就是这个值小

cubic-bezier曲线的控制点坐标给出, 通过这些点来求出曲线上的点的坐标,然后用上面的公式计算出该点的曲率半径, 就能得出这个曲线上最大曲率值的点了

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如何计算出三维空间cubic-bezier曲线上曲率大的点

计算三维空间立体贝塞尔曲线上曲率大的点需要使用到向量微积分理论。一种方法是首先计算曲线的首导数和二导数，然后使用这些导数计算出曲率的表达式。具体来说，曲线的曲率的绝对值可以表示为导数向量的长度除以法向量的长度，其中导数向量是曲线上某点的一阶导数，法向量是曲线上某点的二阶导数与导数向量的叉积。

给定曲线的三维坐标函数 r(t)，曲线的首导数向量为 dr/dt,二导数向量为 d²r/dt² ,曲率K = |d²r/dt²| / (dr/dt)^3

通过这个公式可以计算出曲率K的值，再找出最大值就是曲率最大的点。

将点用光滑的曲线联合起来

### 使用 Python 和 MATLAB 实现光滑曲线连接

#### 方法一：使用贝塞尔曲线 (Bezier Curve)

贝塞尔曲线是一种广泛应用于计算机图形学中的参数化曲线。对于给定的控制点集合，可以通过计算这些点之间的贝塞尔多项式来绘制平滑过渡的路径。

##### Python 实现 Bezier 曲线

import numpy as np
from scipy.special import comb
import matplotlib.pyplot as plt

def bezier_curve(control_points, num=100):
    n = len(control_points) - 1
    t = np.linspace(0, 1, num=num)
    curve = np.zeros((num, 2))
    
    for i in range(n + 1):
        coefficient = comb(n, i) * ((1-t)**(n-i)) * (t**i)
        curve += control_points[i] * coefficient[:, None]

    return curve

control_points = np.array([[0, 0], [1, 3], [4, 5], [7, 8]])
curve = bezier_curve(control_points)

plt.plot(curve[:, 0], curve[:, 1])
for point in control_points:
    plt.scatter(*point)
plt.show()

此代码定义了一个 `bezier_curve` 函数用于生成由指定数量的控制点构成的贝塞尔曲线，并将其可视化[^1]。

#### 方法二：使用样条插值 (Spline Interpolation)

样条插值提供了另一种创建平滑曲线的方式，特别是当数据点较多时表现良好。三次样条尤其适用于需要保持连续性和曲率的情况。

##### MATLAB 实现 Cubic Spline 插值

% 定义节点坐标
x = [0 1 2 3];
y = [-1 0.5 2 1];

% 创建样条对象并评估其值
cs = spline(x,y);
xx = linspace(min(x), max(x));
yy = ppval(cs, xx);

plot(xx, yy,'r-', x, y,'o');
title('Cubic Spline Interpolation')
legend('Interpolated','Data Points', 'Location','Best')
grid on;

这段脚本展示了如何利用内置函数 `spline()` 来构建一个基于输入坐标的自然立方体样条模型，并对其进行绘图展示[^2]。