f(x,y)=(x*(y^2))/(x^2+y^2)在原点（0，0）处连续吗，偏导数存在吗

我们可以使用极坐标来分析函数在原点的连续性和偏导数的存在性。令x=r*cosθ，y=r*sinθ，则当r趋近于0时，函数f(x,y)可以表示为：

f(r*cosθ,r*sinθ)=r*cosθ*(r*sinθ)^2/(r*cosθ)^2+(r*sinθ)^2

= r*cosθ*sin^2θ/(cos^2θ+sin^2θ)

= r*cosθ*sin^2θ

因此，当r趋近于0时，f(x,y)趋近于0，因为|r*cosθ*sin^2θ|<=|r|。

因此，f(x,y)在原点（0,0）处连续。

接下来我们要分别求出f(x,y)在x轴和y轴上的偏导数，如果偏导数存在，则说明f(x,y)在原点处可微分。

对于x轴上的偏导数，我们可以将y固定为0，得到：

∂f/∂x = lim(h→0) [f(h,0)-f(0,0)]/h = lim(h→0) [(h*0^2)/(h^2+0^2)-0]/h = 0

对于y轴上的偏导数，我们可以将x固定为0，得到：

∂f/∂y = lim(h→0) [f(0,h)-f(0,0)]/h = lim(h→0) [(0*h^2)/(0^2+h^2)-0]/h = 0

因此，f(x,y)在原点处的偏导数都存在且为0，说明f(x,y)在原点处可微分。