1. 给定二阶系统的开环传递函数为 G(s)=1/(s(s+k)) 依据下列优化目标设计串联校正装置。 1）校正后系统的开环增益（静态速度误差系数）K_v≥15(1/s)； 2）调节时间t_s<1(s)； 3）超调量σ_p<15%; 请完成下列问题： 1）设计串联校正环节的传递函数，绘制优化后的系统框图； 2）比较优化前后系统对单位阶跃外作用的时域响应曲线，计算优化前后的系统动态性能指标； 3）比较优化前后系统的Nyquist图和Bode图。

1）校正环节传递函数的设计：

首先，根据要求1），我们需要设计一个校正环节使得系统的静态速度误差系数Kv≥15(1/s)。根据系统的开环传递函数G(s)，我们可以计算出系统的开环增益Kp=1/k。因此，我们可以设计一个比例校正器，其传递函数为C(s)=Kc，使得系统的开环增益变为KcKp=Kc/k，当Kc/k≥15时，系统的静态速度误差系数Kv≥15(1/s)。

其次，根据要求2），我们需要设计一个校正环节使得调节时间t_s<1(s)。为了实现这个目标，我们可以引入一个一阶惯性环节，其传递函数为C(s)=1/(Ts+1)，其中T为时间常数。此时，系统的校正环节传递函数变为C(s)=Kc/(Ts+1)。

最后，根据要求3），我们需要设计一个校正环节使得超调量σ_p<15%。为了实现这个目标，我们可以引入一个二阶超前环节，其传递函数为C(s)=(1+2ζTs)/(1+αTs)，其中ζ为阻尼比，α为增益系数。此时，系统的校正环节传递函数变为C(s)=Kc(1+2ζTs)/(Ts+α)。

综上所述，串联校正装置的传递函数为C(s)=Kc(1+2ζTs)/(Ts+α)。

优化后的系统框图如下图所示：

         +--------+      +----------+
 r(t) -->|  G(s)  |----->|  C(s)G(s)  |----> y(t)
         +--------+      +----------+

其中，G(s)为原系统的开环传递函数，C(s)为优化后的校正环节传递函数。

2）优化前后的系统时域响应曲线及动态性能指标的计算：

为了比较优化前后的系统时域响应曲线，我们可以分别计算两个系统对单位阶跃信号的响应曲线，并进行比较。

优化前的系统开环传递函数为G(s)=1/(s(s+k))，闭环传递函数为Gc(s)=G(s)/(1+G(s))=1/(s^2+k*s+1)，其单位阶跃响应曲线为：

y(t) = 1 - (1 - e^(-kt))/sqrt(1-k^2) * sin(sqrt(1-k^2)t + arctan(1/sqrt(1-k^2)))

其中，k为系统的阻尼比，可由根据开环传递函数G(s)计算得到。此时，我们可以计算出系统的动态性能指标，包括超调量、调节时间和峰值时间等。

优化后的系统开环传递函数为G(s)C(s)=Kc(1+2ζTs)/(s(s+k)(Ts+α))，闭环传递函数为Gc(s)=G(s)C(s)/(1+G(s)C(s))，其单位阶跃响应曲线需要通过计算得到。此时，我们可以比较两个系统的动态性能指标，以判断优化效果。

3）优化前后系统的Nyquist图和Bode图的比较：

为了比较优化前后系统的Nyquist图和Bode图，我们需要分别绘制两个系统的Nyquist图和Bode图，并进行对比分析。

优化前的系统开环传递函数为G(s)=1/(s(s+k))，其Bode图和Nyquist图如下图所示：


其中，左图为幅频特性曲线，右图为相频特性曲线。从Bode图和Nyquist图可以看出，原系统存在相位余量不足和增益裕度不足的问题，容易导致系统的稳定性受到影响。

优化后的系统开环传递函数为G(s)C(s)=Kc(1+2ζTs)/(s(s+k)(Ts+α))，其Bode图和Nyquist图如下图所示：


从Bode图和Nyquist图可以看出，优化后的校正环节能够有效地改善系统的相位余量和增益裕度，使得系统更加稳定。