Tr(Q^TLQ)怎么转化为范数形式
时间: 2024-06-02 13:13:32 浏览: 17
假设矩阵Q是n×m的,则Q^T是m×n的,Q^TQ是m×m的矩阵,因此Tr(Q^TLQ)可以转化为:
Tr(Q^TLQ) = Tr(LQQ^T) (因为Tr(AB) = Tr(BA))
然后再利用性质Tr(AB) = Tr(BA)和矩阵F的Frobenius范数定义:
Tr(LQQ^T) = Tr(Q^TLQ) = ||LQ||_F^2
因此,Tr(Q^TLQ)可以转化为LQ的Frobenius范数的平方,即||LQ||_F^2。
相关问题
为什么 Tr(Q^TLQ) = ||LQ||_F^2
首先,我们可以将矩阵 Q 分解为 Q = QR,其中 R 是一个上三角矩阵,Q 和 R 的秩都是 L。因此,我们可以将 Tr(Q^TLQ) 重写为:
Tr(Q^TLQ) = Tr(R^TQ^T LQ R)
由于 R 是一个上三角矩阵,因此 R^T 是一个下三角矩阵。我们可以使用下面这个性质:
Tr(AB) = Tr(BA)
将上式转化为:
Tr(Q^TLQ) = Tr(Q R R^T Q^T L)
现在,我们可以使用 Frobenius 范数的定义,将 ||LQ||_F^2 转化为:
||LQ||_F^2 = Tr((LQ)^T LQ)
= Tr(Q^T L^T L Q)
= Tr(Q R R^T Q^T L L^T)
= Tr(Q^T L L^T Q R R^T)
由于迹运算的交换性,我们可以将 Tr(Q R R^T Q^T L) 重写为 Tr(Q^T L R R^T Q)。因此,我们可以将上述式子进一步转化为:
||LQ||_F^2 = Tr(Q^T L L^T Q R R^T)
= Tr(Q^T L L^T Q R R^T)
= Tr(Q^T L Q R R^T)
= Tr(Q^T L Q Q R R^T)
= Tr(Q^T L Q Q^T Q R R^T)
= Tr(Q^T L Q^T Q R R^T)
由于 Q^T Q = I,因此我们可以将上述式子进一步转化为:
||LQ||_F^2 = Tr(Q^T L Q^T Q R R^T)
= Tr(Q^T L R R^T)
= Tr(R^T Q^T LQ R)
= Tr(Q^TLQ)
因此,我们证明了 Tr(Q^TLQ) = ||LQ||_F^2。
tlq8.1 安装包
tlq8.1 安装包是指 TransLogik 公司开发的 tlq8.1 软件的安装文件。tlq8.1 是一种用于物流和供应链管理的解决方案,它帮助企业实现有效的库存管理、运输和物流跟踪等方面的任务。安装包通常是一种压缩文件,包含了安装 tlq8.1 软件所需的所有文件和资源。
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