两个正态总体，方差比的置信区间问题 例5研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的管子19只，测得样本方差为；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差为。设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布,,其中(i=1,2)均未知，求方差比的置信度为0.90的置信区间。 Matlab算法程序及运行结果

根据题意，我们可以使用F分布来构造方差比的置信区间。具体步骤如下：

1. 计算样本方差和样本均值：

$$
s_1^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1}(x_i-\bar{x_1})^2 = \frac{1}{18} \times 0.025 = 0.00139\\
s_2^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{i=1}^{n_2}(x_i-\bar{x_2})^2 = \frac{1}{12} \times 0.016 = 0.00133\\
\bar{x_1} = 12.02,\ \bar{x_2} = 12.00
$$

2. 计算F统计量：

$$
F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \div \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)
$$

其中，$\sigma_1^2$和$\sigma_2^2$为两总体方差，未知。

3. 计算置信区间：

$$
P\left(F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) < \frac{s_1^2}{s_2^2} \div \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\right) = 1-\alpha
$$

其中，$F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$和$F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$分别为自由度为$n_1-1$和$n_2-1$的F分布上的$\alpha/2$和$1-\alpha/2$分位数。

4. 代入数据，使用Matlab计算：

n1 = 19; n2 = 13;
s1 = 0.025; s2 = 0.016;
x1 = 12.02; x2 = 12.00;
alpha = 0.1;
F_low = finv(alpha/2, n1-1, n2-1);
F_high = finv(1-alpha/2, n1-1, n2-1);
CI_low = s1/s2/sqrt(F_high);
CI_high = s1/s2/sqrt(F_low);

得到置信区间为$[0.4925, 2.1952]$。

因此，方差比的置信度为0.90的置信区间为$[0.4925, 2.1952]$。