多分类的对数损失函数softmax

softmax回归是一种用于多分类问题的机器学习算法。其基本思想是将神经网络模型的输出结果通过softmax函数转化为概率分布，然后利用交叉熵损失函数来衡量模型预测结果与真实标签之间的差距，从而进行参数优化。

softmax函数可以将一个向量转化为一个概率分布，其公式为：

$$
\text{softmax}(\mathbf{z})_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^K e^{z_j}},\quad i=1,\dots,K
$$

其中，$\mathbf{z}$是一个K维向量，每个元素表示一个可能的类别，$K$是类别总数，$\text{softmax}(\mathbf{z})_i$表示$\mathbf{z}$中第$i$个元素对应的概率值。softmax函数的作用是将向量$\mathbf{z}$中的每个元素映射到一个[0,1]区间内，并且这些概率值的和为1，从而可以表示一个概率分布。

对于多分类问题，我们需要使用交叉熵损失函数来衡量模型的预测结果与真实标签之间的差距。交叉熵损失函数的公式为：

$$
\mathcal{L}(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}}) = -\sum_{i=1}^K y_i\log \hat{y_i}
$$

其中，$\mathbf{y}$是真实标签向量，$\hat{\mathbf{y}}$是模型预测的概率分布向量，$y_i$表示真实标签中第$i$个元素的值，$\hat{y_i}$表示模型预测的概率分布中第$i$个元素的值。交叉熵损失函数的作用是衡量模型预测结果与真实标签之间的差距，从而可以优化神经网络的参数，提高模型的预测能力。