matlab 如何利用奇异值分解求解最小二乘问题

在 MATLAB 中，可以使用 `svd` 函数进行奇异值分解，然后利用奇异值和奇异向量求解最小二乘问题。具体步骤如下：

假设需要求解的最小二乘问题为：

$$ \min_x \|Ax-b\|^2 $$

其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m \times 1$ 的向量，$x$ 是一个 $n \times 1$ 的向量。

1. 对矩阵 $A$ 进行奇异值分解：

    [U,S,V] = svd(A);

2. 计算 $A$ 的伪逆矩阵 $A^+$：

    Ap = V * pinv(S) * U';

其中 `pinv(S)` 表示对奇异值取倒数后再转置，即伪逆矩阵的对角线元素为 $S_{ii}^{-1}$，其余元素均为 $0$。

3. 解最小二乘问题：

    x = Ap * b;

这样就可以利用奇异值分解求解最小二乘问题了。注意，当 $A$ 的列满秩时，伪逆矩阵 $A^+$ 等于 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。

相关问题

matlab的SVD分解求解最小二乘问题

在Matlab中，可以使用SVD分解求解最小二乘问题，具体步骤如下：

1. 假设有一个线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵，$x$ 是 $n\times 1$ 的向量，$b$ 是 $m\times 1$ 的向量。

2. 对 $A$ 进行奇异值分解：$A = U\Sigma V^T$，其中 $U$ 是 $m\times m$ 的酉矩阵，$\Sigma$ 是 $m\times n$ 的对角矩阵，$V$ 是 $n\times n$ 的酉矩阵。

3. 将 $x$ 表示为 $x=V\Sigma^{-1}U^Tb$，其中 $\Sigma^{-1}$ 是将 $\Sigma$ 的对角线上的元素取倒数后得到的对角矩阵。

4. 将 $x$ 代入原方程组，得到 $Ax=U\Sigma V^TV\Sigma^{-1}U^Tb$。

5. 由于 $V$ 是酉矩阵，所以 $V^TV=I$，因此 $Ax=U\Sigma\Sigma^{-1}U^Tb=Ub$。

6. 最小二乘解为 $x=V\Sigma^{-1}U^Tb$。

Matlab代码示例如下：

% 假设有一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是 m*n 的矩阵，x 是 n*1 的向量，b 是 m*1 的向量
A = randn(4,3);
b = randn(4,1);

% 对 A 进行奇异值分解
[U,S,V] = svd(A);

% 将 x 表示为 x = V*S^-1*U'*b
x = V*(S\U')*b;

% 检验最小二乘解是否正确
norm(A*x-b)

MATLAB借助QR因子分解的最小二乘代码

MATLAB中，你可以使用qr函数结合lsqlin或lsqminnorm等函数来进行基于QR因子分解的最小二乘求解。这里是一个简单的例子：

% 假设我们有一个线性模型Ax = b，其中A是一个矩阵，x是我们寻找的向量，b是目标值

% 创建矩阵A和向量b
A = ...; % 输入你的系数矩阵
b = ...; % 输入你的目标向量

% 使用qr函数进行 QR 分解，得到Q（正交矩阵）和R（上三角矩阵）
[Q, R] = qr(A);

% 如果需要对齐秩不足的情况，可以使用R的奇异值分解（SVD）进行补充
[R, ~, singular_values] = svd(R);
if rank(R) < size(b, 2)
    R = R * diag(singular_values);
end

% 利用QR分解找到最小二乘解 x，通过解决Rx = Q'b
x = lsqlin(Q', b, [], [], R);

% 或者如果想找到最小范数解，可以使用lsqminnorm函数
% x_min_norm = lsqminnorm(R, Q'*b);

% 检查结果
residual = A*x - b;
disp(['Residual norm: ', num2str(norm(residual))]);