5.由RC电路实现的低通滤波器如图所示,取RC=0.001。 (1)写出系统的微分方程式,并推导系统的频率响应H(jw)。 (2)用fft或freqs命令分析系统的幅频响应和相频响应。 (3)信号x(t)=cos(100t)+cos(3000t)通过该RC电路，计算输出响应y(t),绘出x(t)和y(t)的波形。

(1) RC 电路的微分方程可以由基尔霍夫定律和欧姆定律得到。在这里，我们设电容器上的电压为 v(t)，则电容器两端的电流为 i(t) = C * dv(t)/dt，其中 C 是电容器的电容。根据基尔霍夫定律，我们可以得到：

v(t) = Ri(t) + x(t)

其中 R 是电阻器的电阻，x(t) 是输入信号。

将 i(t) 替换为 C * dv(t)/dt，我们可以得到微分方程：

RC * dv(t)/dt + v(t) = x(t)

这是 RC 电路的微分方程。

为了推导系统的频率响应 H(jω)，我们可以将微分方程转换为频域。首先应用拉普拉斯变换，将微分方程转换为复频域方程：

RC * (jωV(jω) - v(0)) + V(jω) = X(jω)

其中 V(jω) 和 X(jω) 分别是 v(t) 和 x(t) 的拉普拉斯变换。v(0) 是初始条件。

进一步整理得到：

V(jω) / X(jω) = 1 / (1 + jωRC)

这是 RC 电路的频率响应 H(jω)。

(2) 我们可以使用 MATLAB 中的 freqs 函数来分析系统的幅频响应和相频响应。假设 RC 的值已知为 0.001，我们可以使用以下代码：

R = 1;
C = 0.001;
num = 1;
den = [R*C, 1];
w = logspace(-1, 4, 1000); % 生成频率范围从0.1到10000的1000个对数间隔点
H = freqs(num, den, w);
magnitude = abs(H);
phase = angle(H);

% 绘制幅频响应曲线
subplot(2, 1, 1);
semilogx(w, 20*log10(magnitude));
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude (dB)');
title('Frequency Response');

% 绘制相频响应曲线
subplot(2, 1, 2);
semilogx(w, phase);
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Phase (rad)');
title('Phase Response');

这段代码将生成系统的幅频响应和相频响应曲线。幅频响应曲线以对数刻度绘制，相频响应曲线以线性刻度绘制。

(3) 要计算输出响应 y(t)，我们可以将输入信号 x(t) 带入微分方程并求解。对于给定的信号 x(t) = cos(100t) + cos(3000t)，我们可以使用 MATLAB 来计算输出响应 y(t)：

t = 0:0.0001:0.2; % 时间范围从0到0.2秒，采样间隔0.0001秒
x = cos(100*t) + cos(3000*t); % 输入信号
y = zeros(size(x)); % 初始化输出响应

% 计算输出响应
for k = 2:length(x)
    y(k) = (x(k) - y(k-1)/(R*C)) / (1/(R*C));
end

% 绘制输入信号和输出响应的波形
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Input Signal x(t)');

subplot(2, 1, 2);
plot(t, y);
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Output Response y(t)');

这段代码将生成输入信号 x(t) 和输出响应 y(t) 的波形图。你可以调整时间范围和采样间隔来适应你的需求。