考虑由两种不同原子（质量分别为M和m）所构成的一维复式格子，相邻同种原子距离为2a，相互作用的力常数为，设M>>m,求晶体热容量，并讨论高低温极限情况。

这是一个典型的一维双原子链问题，我们可以使用独立振动子模型来求解该问题。

根据独立振动子模型，每个原子可以看成是一个振动子，它们的振动是独立的，因此晶体的总能量可以表示为每个振动子的能量之和。在高温下，每个振动子的能量都很大，它们的振动是混沌的，此时可以使用经典统计物理学。在低温下，每个振动子的能量都很小，它们的振动可以量子化，此时需要使用量子统计物理学。

我们先来计算高温极限下的晶体热容量。在高温下，每个振动子的能量可以近似看成是连续的，因此可以使用经典的玻尔兹曼分布来描述每个振动子的能量分布。设晶体中有N个振动子，则每个振动子的平均能量为$k_BT$，其中$k_B$为玻尔兹曼常数，$T$为温度。因此晶体的总能量为$E=Nk_BT$，热容量为$C_V=\frac{dE}{dT}=Nk_B$。

接下来我们来计算低温极限下的晶体热容量。在低温下，每个振动子的能量很小，可以近似看成是量子化的。由于每个振动子的能量只能取离散的能级，因此需要使用玻色-爱因斯坦分布来描述每个振动子的能级分布。设晶体中有N个振动子，则每个振动子的平均能量为$\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1}$，其中$h$为普朗克常数，$\nu$为振动子的频率。因此晶体的总能量为$E=\sum_{i=1}^N\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1}$，热容量为$C_V=\frac{dE}{dT}=\sum_{i=1}^N\frac{h\nu}{k_BT^2}\frac{e^{\frac{h\nu}{k_BT}}}{(e^{\frac{h\nu}{k_BT}}-1)^2}$。

由于$M>>m$，我们可以将晶体看成是连续的弹性介质，振动子的频率可以表示为$\nu=\frac{2\sqrt{K}}{\sqrt{M}}\sin\frac{n\pi}{N+1}$，其中$K$为弹性常数，$n$为振动模式数。将振动子的平均能量和频率代入热容量公式中，可以得到低温极限下的晶体热容量为$C_V=\frac{3Nk_B}{4}\frac{h\nu}{k_BT}\coth^2\frac{h\nu}{2k_BT}$。

综上所述，晶体的热容量包含两部分：高温极限下的贡献$Nk_B$和低温极限下的贡献$\frac{3Nk_B}{4}\frac{h\nu}{k_BT}\coth^2\frac{h\nu}{2k_BT}$。当温度很高时，低温极限下的贡献可以忽略不计，因此晶体的热容量近似为$Nk_B$；当温度很低时，高温极限下的贡献可以忽略不计，因此晶体的热容量近似为$\frac{3Nk_B}{4}\frac{h\nu}{k_BT}\coth^2\frac{h\nu}{2k_BT}$。