已知时间以及AQI，用GM(1.1)-S预测空气质量季节性

GM(1,1)模型是一种常用的灰色预测模型，主要用于处理样本数据量较少、缺少统计学信息的情况下的预测问题。下面是GM(1,1)模型的步骤：

1. 建立灰色微分方程

首先将原始数据进行累加，得到：

$$\sum_{i=1}^{n} X(i) = X(1) + X(2) + ... + X(n)$$

然后将累加数据作为新的序列，得到：

$$Y(i) = \sum_{j=1}^{i} X(j)$$

对 $Y(i)$ 进行一次紧邻平均（即相邻两项取平均），得到：

$$\widetilde{Y}(i) = \frac{1}{2}(Y(i)+Y(i-1))$$

将 $\widetilde{Y}(i)$ 看作是灰色微分方程的解，即：

$$\frac{d}{dt}x(t) + ax(t)=u(t)$$

其中 $a$ 为灰色作用参数，$u(t)$ 为矩阵，根据样本数据可以求出。

2. 模型参数估计

对上述灰色微分方程进行变形，得到：

$$x(n) = \frac{1-e^{-an}}{a}\int_{1}^{n}e^{ax(i)}u(i)di$$

其中 $n$ 为预测期数，可以将上述方程写成矩阵形式：

$$\begin{bmatrix} x(2) \\ x(3) \\ \vdots \\ x(n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}(Y(1)+Y(2)) & 1 \\ -\frac{1}{2}(Y(2)+Y(3)) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -\frac{1}{2}(Y(n-1)+Y(n)) & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ x(1) \end{bmatrix}$$

根据最小二乘法，可以求解出模型参数 $a$ 和 $x(1)$。

3. 预测

利用上述模型参数，可以对下一季度的空气质量进行预测。

需要注意的是，在使用GM(1,1)模型进行预测时，需要对模型的准确性进行检验，可以采用残差分析等方法进行。