判断集合S={(x,y)│x-y^2≥0,y≥x^2 }是否为凸集。

根据定义，如果对于任意的点集S中的任意两个点(x1,y1)和(x2,y2)，线段上的所有点(x,y)也属于S，则集合S为凸集。

考虑集合S中的两点(x1,y1)和(x2,y2)并联一条线段L。则该线段上的所有点都可以表示为(x,y) = t(x1,y1) + (1-t)(x2,y2)，其中0≤t≤1。

对于x-y^2≥0,y≥x^2这两个不等式，它们都是下凸集。考虑将它们的交集求出来：

y≥x^2
y^2-x≥0

将上述式子化简后可得

x^4 - x ≥ 0

因此，S的形式为S = {(x,y)|x≥0,y≥x^2}，即向上开口的抛物线以下部分。

又因为对于任意的x1,x2≥0，t(x1,y1) + (1-t)(x2,y2)的第二个坐标y总是随着t的增大而增大，因此集合S为凸集。

因此，集合S是凸集。

相关问题

为什么B={x | x ≥ 1}是凸集

### 回答1：
？谢谢！

B={x | x ≥ 1}是凸集，因为对于任意两个满足x1 ≥ 1和x2 ≥ 1的元素x1和x2，以及任意t∈[0,1]，都有tx1+(1-t)x2 ≥ 1。这是因为tx1+(1-t)x2 = t(x1-1)+(1-t)(x2-1)+1，而由于x1-1≥0，x2-1≥0，以及t∈[0,1]，所以tx1+(1-t)x2 ≥ 1。因此，B是凸集。

### 回答2：
B={x | x ≥ 1}是凸集的原因如下：

首先，根据定义，凸集是指集合中的任意两点的连线上的所有点也包含在该集合内。因此，我们需要证明对于任意满足x1≥1和x2≥1的两个点x1和x2，它们之间的连线上的所有点也都满足x≥1。

假设存在一个连线上的点x3，其满足x1≥1，x2≥1且x3<1。考虑点x3与x1的连线上的点x4，此时x4可以表示为x4 = λx1 + (1-λ)x3，其中0≤λ≤1。根据连线上的点的定义，x4也应满足x4≥1。

我们将x4代入上述等式，得到 x4 = λx1 + (1-λ)x3 ≥ λ(1) + (1-λ)(1) = 1，因此x4≥1。这意味着连线上的任意一个点都满足x≥1的条件。

因此，根据凸集的定义，我们可以得出结论，B={x | x ≥ 1}是一个凸集。

### 回答3：
首先，凸集的定义是对于集合中的任意两个元素，连接它们的线段上的所有点也属于该集合。

对于集合B={x | x ≥ 1}，我们取集合中任意两个元素x1和x2，并且x1≥1，x2≥1。

我们来看连接x1和x2的线段上的任意一点t，其中0≤t≤1。根据线性插值的定义，我们可以得到这样的等式：

t*x1 + (1-t)*x2

考虑到x1≥1，x2≥1，那么我们可以得到：

t*x1 + (1-t)*x2≥t*1 + (1-t)*1

进一步化简可以得到：

t*x1 + (1-t)*x2≥1

根据不等式定义，我们可以得出t*x1 + (1-t)*x2≥1对于任意0≤t≤1都成立。

结合上述过程，我们可以得出结论，连接集合中任意两个元素x1和x2的线段上的所有点t*x1 + (1-t)*x2≥1，也就是说这些点都属于集合B。

根据凸集的定义，我们可以看出集合B={x | x ≥ 1}满足凸集的条件，因此它是一个凸集。

求证：邻域N（x0，δ）={x| ||x－x0||＜δ，δ＞0}是凸集。

邻域N（x0，δ）={x| ||x－x0||＜δ，δ＞0}是一个凸集。

证明：
假设a、b两个点属于N（x0，δ），即满足条件||a－x0||＜δ和||b－x0||＜δ。

对任意的t∈[0,1]，考虑点c=t*a+(1-t)*b。
我们有：
||c-x0|| = ||(t*a+(1-t)*b)-x0||
= ||(t*a-x0)+(1-t)*(b-x0)||
≤ ||t*a-x0|| + ||(1-t)*(b-x0)||
= t*||a-x0|| + (1-t)*||(b-x0)||
< t*δ + (1-t)*δ
= δ

所以，c也属于N（x0，δ），即N（x0，δ）对于线段上的任意两点都包含其间的所有点。

因此，邻域N（x0，δ）={x| ||x－x0||＜δ，δ＞0}是一个凸集。