判断集合S={(x,y)│x-y^2≥0,y≥x^2 }是否为凸集。

根据定义，如果对于任意的点集S中的任意两个点(x1,y1)和(x2,y2)，线段上的所有点(x,y)也属于S，则集合S为凸集。

考虑集合S中的两点(x1,y1)和(x2,y2)并联一条线段L。则该线段上的所有点都可以表示为(x,y) = t(x1,y1) + (1-t)(x2,y2)，其中0≤t≤1。

对于x-y^2≥0,y≥x^2这两个不等式，它们都是下凸集。考虑将它们的交集求出来：

y≥x^2
y^2-x≥0

将上述式子化简后可得

x^4 - x ≥ 0

因此，S的形式为S = {(x,y)|x≥0,y≥x^2}，即向上开口的抛物线以下部分。

又因为对于任意的x1,x2≥0，t(x1,y1) + (1-t)(x2,y2)的第二个坐标y总是随着t的增大而增大，因此集合S为凸集。

因此，集合S是凸集。

相关问题

凸集是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。通俗点讲，凸集实际上就是一个点集，在这个集合中任意取两个不同的点x和y，如果连接这两点之间的线段上的点都属于这个点集，那么这个点集是一个凸集，如图2.5a所示。相反地，2.5b中的图形是是非凸集，因为可以发现，线段上存在点不在集合中。 改写以上内容，意思不变

凸集是指在凸组合下封闭的仿射空间的子集。简单来说，就是一个点集合，其中任意取两个不同的点x和y，连接这两点之间的线段上的所有点都属于这个点集，那么这个点集就是一个凸集，如图2.5a所示。相反地，如果存在线段上的某些点不属于这个点集，那么这个点集就不是凸集，如图2.5b所示。因此，凸集的定义可以帮助我们判断一个点集是否为凸集，进而应用于数学、物理、工程等各个领域中。

怎样判断一个线性方程组是凸的还是非凸的

一个线性方程组的凸性取决于其约束条件的限制性质。一个线性方程组是凸的，当且仅当其约束条件是凸集。一个凸集是指包含连接任意两个点的直线上所有点的集合。

例如，一个简单的线性方程组：

\begin{cases} 3x+y \leq 6 \\ x+2y \leq 4 \end{cases}

可以被表示为约束条件的交集：

S = \{ (x,y) | 3x+y \leq 6, x+2y \leq 4 \}

这个约束条件是一个平面区域，其边界由两条直线组成。这个区域是凸的，因为它包含连接任意两个点的直线上所有点。

如果一个线性方程组的约束条件是非凸集，那么它就是非凸的。例如，以下线性方程组：

\begin{cases} x+y \leq 1 \\ x-y \leq 1 \\ -x+y \leq 1 \\ -x-y \leq 1 \end{cases}

其约束条件是一个正方形的边界，这个边界不是凸的，因为它的对角线不在边界内。

因此，判断一个线性方程组是否是凸的，需要对其约束条件进行分析。如果约束条件是凸的，则该线性方程组是凸的；否则，它就是非凸的。