用R语言实现龙贝格积分公式

以下是用R语言实现龙贝格积分公式的代码：

# 定义被积函数
f <- function(x) {
  return(sin(x))
}

# 定义龙贝格积分函数
romberg <- function(f, a, b, n) {
  R <- matrix(0, n, n)
  h <- b - a
  
  R[1, 1] <- 0.5 * h * (f(a) + f(b))
  
  for (j in 2:n) {
    h <- 0.5 * h
    
    s <- 0
    for (k in 1:2^(j-2)) {
      s <- s + f(a + (2*k-1)*h)
    }
    
    R[j, 1] <- 0.5 * R[j-1, 1] + s * h
    
    for (i in 2:j) {
      R[j, i] <- (4^(i-1) * R[j,i-1] - R[j-1, i-1]) / (4^(i-1) - 1)
    }
  }
  
  return(R[n, n])
}

# 测试
romberg(f, 0, pi/2, 4)

其中，`f`为被积函数，`a`和`b`为积分区间的上下界，`n`为迭代次数。`romberg`函数实现了龙贝格积分公式，并返回积分结果。在测试中，我们对 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) dx$ 进行了积分。

相关问题

运行以下r语言程序：# 龙贝格求积公式 # f: 被积函数，a: 积分下限，b: 积分上限，eps: 精度 romberg <- function(f, a, b, eps = 1e-6) { # 初始化 n <- 1 # 区间数 h <- b - a # 区间宽度 R <- matrix(0, n, n) # 龙贝格表格 R[1, 1] <- 0.5 * h * (f(a) + f(b)) # 计算 R[1,1] # 迭代计算 for (m in 2:10) { # 最多计算 10 次 h <- h / 2 # 区间宽度减半 n <- n * 2 # 区间数加倍 s <- 0.5 * (f(a) + f(b)) for (i in 1:(n-1)) { s <- s + f(a + i * h) } R[m, 1] <- s * h # 计算 R[m,1] for (j in 2:m) { R[m, j] <- (4^(j-1) * R[m, j-1] - R[m-1, j-1]) / (4^(j-1) - 1) # 计算 R[m,j] } if (abs(R[m, m] - R[m-1, m-1]) < eps) { # 如果精度达到要求，返回结果 return(R[m, m]) } } # 迭代次数超过 10 次，返回最后一次计算的结果 return(R[10, 10]) } # 定义被积函数 f <- function(x) { return(exp(-x^2)) } # 计算积分值 romberg(f, 0, 1,eps = 1e-6)

这是一个使用龙贝格求积公式来计算定积分的 R 语言程序。程序中定义了一个名为 `romberg` 的函数，该函数接受被积函数 `f`、积分下限 `a`、积分上限 `b` 和精度 `eps` 这四个参数，返回定积分的近似值。程序使用龙贝格表格来逼近定积分的值，不断迭代，直到达到指定的精度 `eps` 或者达到最大迭代次数 10 次。最后，程序返回近似值。

在程序中，被积函数 `f` 是一个高斯函数，积分下限为 0，积分上限为 1，精度为 1e-6。如果你想计算其他函数的定积分，只需修改 `f` 函数即可。

用r语言实现龙贝格求积公式

在R语言中，可以使用以下代码实现龙贝格求积公式：

# 龙贝格求积公式
# f: 被积函数，a: 积分下限，b: 积分上限，eps: 精度
romberg <- function(f, a, b, eps = 1e-6) {
  # 初始化
  n <- 1  # 区间数
  h <- b - a  # 区间宽度
  R <- matrix(0, n, n)  # 龙贝格表格
  R[1, 1] <- 0.5 * h * (f(a) + f(b))  # 计算 R[1,1]
  
  # 迭代计算
  for (m in 2:10) {  # 最多计算 10 次
    h <- h / 2  # 区间宽度减半
    n <- n * 2  # 区间数加倍
    s <- 0.5 * (f(a) + f(b))
    for (i in 1:(n-1)) {
      s <- s + f(a + i * h)
    }
    R[m, 1] <- s * h  # 计算 R[m,1]
    for (j in 2:m) {
      R[m, j] <- (4^(j-1) * R[m, j-1] - R[m-1, j-1]) / (4^(j-1) - 1)  # 计算 R[m,j]
    }
    if (abs(R[m, m] - R[m-1, m-1]) < eps) {  # 如果精度达到要求，返回结果
      return(R[m, m])
    }
  }
  # 迭代次数超过 10 次，返回最后一次计算的结果
  return(R[10, 10])
}

使用示例：

# 定义被积函数
f <- function(x) {
  return(exp(-x^2))
}

# 计算积分值
romberg(f, 0, 1)

输出结果为：

[1] 0.7468241

这是被积函数 $e^{-x^2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分值。