SVD using double-sided Jacobi method Matlab代码讲解和举例

SVD（奇异值分解）是一种重要的矩阵分解技术，在信号处理、图像处理、机器学习等领域得到广泛应用。其中，双边Jacobi方法是一种求解SVD的常用方法之一。在Matlab中，可以使用以下代码实现SVD的双边Jacobi方法。

function [U,S,V] = svd_jacobi(A)
% SVD using double-sided Jacobi method
% A: input matrix
% U,S,V: output matrices

[m,n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);
tol = 1e-6; % tolerance
max_iter = 1000; % maximum iterations

for k = 1:max_iter
    changed = false;
    for p = 1:n-1
        for q = p+1:n
            G = [A(:,p), A(:,q)];
            [Ug,Sg,Vg] = svd(G);
            theta = atan2(Sg(2,2),Sg(1,1));
            c = cos(theta);
            s = sin(theta);
            R = [c,-s;s,c];
            G = G*R;
            A(:,p) = G(:,1);
            A(:,q) = G(:,2);
            V(:,[p,q]) = V(:,[p,q])*R;
            changed = true;
        end
    end
    if ~changed
        break;
    end
    for p = 1:m-1
        for q = p+1:m
            G = [A(p,:); A(q,:)];
            [Ug,Sg,Vg] = svd(G);
            theta = atan2(Sg(2,2),Sg(1,1));
            c = cos(theta);
            s = sin(theta);
            R = [c,-s;s,c];
            G = G*R;
            A(p,:) = G(1,:);
            A(q,:) = G(2,:);
            U([p,q],:) = U([p,q],:)*R';
            changed = true;
        end
    end
    if ~changed
        break;
    end
end

S = diag(A);

该函数输入一个矩阵A，输出它的左奇异矩阵U、奇异值矩阵S和右奇异矩阵V。其中，tol和max_iter分别为收敛精度和最大迭代次数。在每次迭代中，采用一个双重循环来遍历矩阵A的所有非对角元素，对于每个非对角元素，构造一个2x2的矩阵G，然后对它进行奇异值分解，求出旋转角度theta，计算旋转矩阵R，对矩阵G进行旋转，同时更新矩阵A和U、V。最后，将矩阵A的对角线元素作为奇异值矩阵S输出。

下面是一个简单的例子，演示如何使用该函数对一个矩阵进行SVD分解。

% Generate a 4x3 matrix
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];
% SVD using Jacobi method
[U,S,V] = svd_jacobi(A);
% Check the result
U*S*V'

该代码将生成一个4x3的矩阵A，然后使用svd_jacobi函数对它进行SVD分解，最后通过检查是否与原矩阵相等来验证结果的正确性。