二次插值法的算法方程式和算法过程

二次插值法是一种用于估算数据点之间函数值的数学方法，特别是在给定三个已知数据点的情况下。它基于多项式函数的线性组合，最常见的是使用二次函数（也就是形如 ax^2 + bx + c 的形式）。算法的核心步骤如下：

1. **算法方程**：
对于三个已知的数据点 (x1, y1), (x2, y2), 和 (x3, y3)，我们构建一个二次方程系统来找到 a, b, 和 c 的系数。通常使用三点式（也称作卡瓦列利公式）来求解：

\[
\begin{align*}
a(x - x_1)(x - x_2) &= y_1(y_2 - y_3) \\
a(x - x_1)(x - x_3) &= y_1(y_3 - y_1)
\end{align*}
\]

解这个方程组得到 \(a\), \(b\), \(c\)。

2. **算法过程**：
a. 确定三个数据点的坐标，并假设它们形成了一条二维空间中的直线段。
b. 将三个点代入上述方程组，可以化简成矩阵形式，例如：
\[
\begin{bmatrix}
(x_2 - x_1)^2 & -(x_1 + x_3) & 1 \\
(x_3 - x_2)^2 & -(x_2 + x_3) & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
y_1(y_2 - y_1)
\end{bmatrix}
\]
c. 计算逆矩阵，然后乘以目标点的函数差分，得出 a, b, c。
d. 当给定新的 x 值时，计算 \(y = ax^2 + bx + c\)，即为该点的插值值。